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Popolare Trigonometria >

2sin(2θ)-3-6/(sin(2θ)-1)=0

Soluzione

2 sin (2 θ) - 3 - \frac{6}{sin ( 2 θ ) - 1} = 0

Soluzione

θ = \frac{7 π}{12} + πn, θ = \frac{11 π}{12} + πn

Gradi

θ = 10 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 16 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

2 sin (2 θ) - 3 - \frac{6}{sin ( 2 θ ) - 1} = 0

Risolvi per sostituzione

2 sin (2 θ) - 3 - \frac{6}{sin ( 2 θ ) - 1} = 0

Sia:

sin (2 θ) = u

2 u - 3 - \frac{6}{u - 1} = 0

2 u - 3 - \frac{6}{u - 1} = 0 : u = 3, u = - \frac{1}{2}

2 u - 3 - \frac{6}{u - 1} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u - 1

2 u - 3 - \frac{6}{u - 1} = 0

Moltiplica entrambi i lati per

u - 1

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - \frac{6}{u - 1} (u - 1) = 0 \cdot (u - 1)

Semplificare

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - \frac{6}{u - 1} (u - 1) = 0 \cdot (u - 1)

Semplificare

- \frac{6}{u - 1} (u - 1) : - 6

- \frac{6}{u - 1} (u - 1)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{6 ( u - 1 )}{u - 1}

Cancella il fattore comune:

u - 1

= - 6

Semplificare

0 \cdot (u - 1) : 0

0 \cdot (u - 1)

Applicare la regola

0 \cdot a = 0

= 0

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - 6 = 0

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - 6 = 0

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - 6 = 0

Risolvi

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - 6 = 0 : u = 3, u = - \frac{1}{2}

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - 6 = 0

Espandere

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - 6 : 2 u^{2} - 5 u - 3

2 u (u - 1) - 3 (u - 1) - 6

Espandi

2 u (u - 1) : 2 u^{2} - 2 u

2 u (u - 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 u, b = u, c = 1

= 2 uu - 2 u \cdot 1

= 2 uu - 2 \cdot 1 \cdot u

Semplifica

2 uu - 2 \cdot 1 \cdot u : 2 u^{2} - 2 u

2 uu - 2 \cdot 1 \cdot u

2 uu = 2 u^{2}

2 uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 2 u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2 u^{2}

2 \cdot 1 \cdot u = 2 u

2 \cdot 1 \cdot u

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 2 u

= 2 u^{2} - 2 u

= 2 u^{2} - 2 u

= 2 u^{2} - 2 u - 3 (u - 1) - 6

Espandi

- 3 (u - 1) : - 3 u + 3

- 3 (u - 1)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = u, c = 1

= - 3 u - (- 3) \cdot 1

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 3 u + 3 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 u + 3

= 2 u^{2} - 2 u - 3 u + 3 - 6

Semplifica

2 u^{2} - 2 u - 3 u + 3 - 6 : 2 u^{2} - 5 u - 3

2 u^{2} - 2 u - 3 u + 3 - 6

Aggiungi elementi simili:

- 2 u - 3 u = - 5 u

= 2 u^{2} - 5 u + 3 - 6

Aggiungi/Sottrai i numeri:

3 - 6 = - 3

= 2 u^{2} - 5 u - 3

= 2 u^{2} - 5 u - 3

2 u^{2} - 5 u - 3 = 0

Risolvi con la formula quadratica

2 u^{2} - 5 u - 3 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 2, b = - 5, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 3 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm ( - 5 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 3 )}{2 \cdot 2}

(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 (- 3) = 7

(- 5)^{2} - 4 \cdot 2 (- 3)

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 5)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 5)^{2} = 5^{2}

= 5^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 5^{2} + 24

5^{2} = 25

= 25 + 24

Aggiungi i numeri:

25 + 24 = 49

= 49

Fattorizzare il numero:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 5 ) \pm 7}{2 \cdot 2}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 5 ) + 7}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 5 ) - 7}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 5 ) + 7}{2 \cdot 2} : 3

\frac{- ( - 5 ) + 7}{2 \cdot 2}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{5 + 7}{2 \cdot 2}

Aggiungi i numeri:

5 + 7 = 12

= \frac{12}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{12}{4}

Dividi i numeri:

\frac{12}{4} = 3

= 3

u = \frac{- ( - 5 ) - 7}{2 \cdot 2} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 5 ) - 7}{2 \cdot 2}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{5 - 7}{2 \cdot 2}

Sottrai i numeri:

5 - 7 = - 2

= \frac{- 2}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{4}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= - \frac{1}{2}

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = 3, u = - \frac{1}{2}

u = 3, u = - \frac{1}{2}

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 1

Prendere il denominatore (i) dell'

2 u - 3 - \frac{6}{u - 1}

e confrontare con zero

Risolvi

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

I seguenti punti sono non definiti

u = 1

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 3, u = - \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = sin (2 θ)

sin (2 θ) = 3, sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (2 θ) = 3, sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (2 θ) = 3 :

Nessuna soluzione

sin (2 θ) = 3

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Nessuna soluzione

sin (2 θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{7 π}{12} + πn, θ = \frac{11 π}{12} + πn

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, 2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, 2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Risolvi

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn : θ = \frac{7 π}{12} + πn

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Semplificare

\frac{\frac{7 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{7 π}{12} + πn

\frac{\frac{7 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{7 π}{6}}{2} = \frac{7 π}{12}

\frac{\frac{7 π}{6}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{7 π}{6 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{7 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{7 π}{12} + πn

θ = \frac{7 π}{12} + πn

θ = \frac{7 π}{12} + πn

θ = \frac{7 π}{12} + πn

Risolvi

2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn : θ = \frac{11 π}{12} + πn

2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{11 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Semplificare

\frac{\frac{11 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{11 π}{12} + πn

\frac{\frac{11 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{11 π}{6}}{2} = \frac{11 π}{12}

\frac{\frac{11 π}{6}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{11 π}{6 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{11 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{11 π}{12} + πn

θ = \frac{11 π}{12} + πn

θ = \frac{11 π}{12} + πn

θ = \frac{11 π}{12} + πn

θ = \frac{7 π}{12} + πn, θ = \frac{11 π}{12} + πn

Combinare tutte le soluzioni

θ = \frac{7 π}{12} + πn, θ = \frac{11 π}{12} + πn

Grafico

Esempi popolari

sin(ax)=0

sin (a x) = 0

cos(x+30)=2cos(x)

cos (x + 3 0^{\circ}) = 2 cos (x)

solvefor x,sec(x)tan(x)=2sqrt(3)

so l v e f or x, sec (x) tan (x) = 23

4sin(x)+2sqrt(2)=0

4 sin (x) + 22 = 0

sin(4x)+sin(2x)=0,0<= x<= 180

sin (4 x) + sin (2 x) = 0, 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}