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Beliebt >

2cos(θ)=3cos(3θ)

Lösung

2 cos (θ) = 3 cos (3 θ)

Lösung

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 2.84874 \dots + 2 πn, θ = - 2.84874 \dots + 2 πn, θ = 0.29284 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.29284 \dots + 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 163.22134 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 163.22134 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 16.77865 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 343.22134 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (θ) = 3 cos (3 θ)

Subtrahiere

3 cos (3 θ)

von beiden Seiten

2 cos (θ) - 3 cos (3 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 cos (θ) - 3 cos (3 θ)

cos (3 θ) = 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

cos (3 θ)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (3 θ)

Schreibe um

= cos (2 θ + θ)

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (2 θ) cos (θ) - sin (2 θ) sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 θ) = 2 sin (θ) cos (θ)

= cos (2 θ) cos (θ) - 2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

Vereinfache

cos (2 θ) cos (θ) - 2 sin (θ) cos (θ) sin (θ) : cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

cos (2 θ) cos (θ) - 2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

2 sin (θ) cos (θ) sin (θ) = 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

2 sin (θ) cos (θ) sin (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= 2 cos (θ) sin^{1 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 cos (θ) sin^{2} (θ)

= cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

= cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

= cos (θ) cos (2 θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

= (2 cos^{2} (θ) - 1) cos (θ) - 2 sin^{2} (θ) cos (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 1

sin^{2} (θ) = 1 - cos^{2} (θ)

= (2 cos^{2} (θ) - 1) cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ)) cos (θ)

Multipliziere aus

(2 cos^{2} (θ) - 1) cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ)) cos (θ) : 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

(2 cos^{2} (θ) - 1) cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ)) cos (θ)

= cos (θ) (2 cos^{2} (θ) - 1) - 2 cos (θ) (1 - cos^{2} (θ))

Multipliziere aus

cos (θ) (2 cos^{2} (θ) - 1) : 2 cos^{3} (θ) - cos (θ)

cos (θ) (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = cos (θ), b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= cos (θ) 2 cos^{2} (θ) - cos (θ) 1

= 2 cos^{2} (θ) cos (θ) - 1 cos (θ)

Vereinfache

2 cos^{2} (θ) cos (θ) - 1 \cdot cos (θ) : 2 cos^{3} (θ) - cos (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ) - 1 cos (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ) = 2 cos^{3} (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (θ) cos (θ) = cos^{2 + 1} (θ)

= 2 cos^{2 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (θ)

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

1 cos (θ)

Multipliziere:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= cos (θ)

= 2 cos^{3} (θ) - cos (θ)

= 2 cos^{3} (θ) - cos (θ)

= 2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 (1 - cos^{2} (θ)) cos (θ)

Multipliziere aus

- 2 cos (θ) (1 - cos^{2} (θ)) : - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

- 2 cos (θ) (1 - cos^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 2 cos (θ), b = 1, c = cos^{2} (θ)

= - 2 cos (θ) 1 - (- 2 cos (θ)) cos^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 2 \cdot 1 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) cos (θ)

Vereinfache

- 2 \cdot 1 \cdot cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) cos (θ) : - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

- 2 \cdot 1 cos (θ) + 2 cos^{2} (θ) cos (θ)

2 \cdot 1 \cdot cos (θ) = 2 cos (θ)

2 \cdot 1 cos (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 2 cos (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ) = 2 cos^{3} (θ)

2 cos^{2} (θ) cos (θ)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (θ) cos (θ) = cos^{2 + 1} (θ)

= 2 cos^{2 + 1} (θ)

Addiere die Zahlen:

2 + 1 = 3

= 2 cos^{3} (θ)

= - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

= - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

= 2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

Vereinfache

2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ) : 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ) + 2 cos^{3} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{3} (θ) + 2 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ)

Addiere gleiche Elemente:

2 cos^{3} (θ) + 2 cos^{3} (θ) = 4 cos^{3} (θ)

= 4 cos^{3} (θ) - cos (θ) - 2 cos (θ)

Addiere gleiche Elemente:

- cos (θ) - 2 cos (θ) = - 3 cos (θ)

= 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

= 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

= 4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)

= 2 cos (θ) - 3 (4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ))

Vereinfache

2 cos (θ) - 3 (4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)) : 11 cos (θ) - 12 cos^{3} (θ)

2 cos (θ) - 3 (4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ))

Multipliziere aus

- 3 (4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ)) : - 12 cos^{3} (θ) + 9 cos (θ)

- 3 (4 cos^{3} (θ) - 3 cos (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 4 cos^{3} (θ), c = 3 cos (θ)

= - 3 \cdot 4 cos^{3} (θ) - (- 3) \cdot 3 cos (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 \cdot 4 cos^{3} (θ) + 3 \cdot 3 cos (θ)

Vereinfache

- 3 \cdot 4 cos^{3} (θ) + 3 \cdot 3 cos (θ) : - 12 cos^{3} (θ) + 9 cos (θ)

- 3 \cdot 4 cos^{3} (θ) + 3 \cdot 3 cos (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 4 = 12

= - 12 cos^{3} (θ) + 3 \cdot 3 cos (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 3 = 9

= - 12 cos^{3} (θ) + 9 cos (θ)

= - 12 cos^{3} (θ) + 9 cos (θ)

= 2 cos (θ) - 12 cos^{3} (θ) + 9 cos (θ)

Addiere gleiche Elemente:

2 cos (θ) + 9 cos (θ) = 11 cos (θ)

= 11 cos (θ) - 12 cos^{3} (θ)

= 11 cos (θ) - 12 cos^{3} (θ)

11 cos (θ) - 12 cos^{3} (θ) = 0

Löse mit Substitution

11 cos (θ) - 12 cos^{3} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

11 u - 12 u^{3} = 0

11 u - 12 u^{3} = 0 : u = 0, u = - \frac{33}{6}, u = \frac{33}{6}

11 u - 12 u^{3} = 0

Faktorisiere

11 u - 12 u^{3} : - u (23 u + 11) (23 u - 11)

11 u - 12 u^{3}

Klammere gleiche Terme aus

- u : - u (12 u^{2} - 11)

- 12 u^{3} + 11 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u^{2} u

= - 12 u^{2} u + 11 u

Klammere gleiche Terme aus

- u

= - u (12 u^{2} - 11)

= - u (12 u^{2} - 11)

Faktorisiere

12 u^{2} - 11 : (12 u + 11) (12 u - 11)

12 u^{2} - 11

Schreibe

12 u^{2} - 11

um:

(12 u)^{2} - (11)^{2}

12 u^{2} - 11

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

12 = (12)^{2}

= (12)^{2} u^{2} - 11

Wende Radikal Regel an:

a = (a)^{2}

11 = (11)^{2}

= (12)^{2} u^{2} - (11)^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(12)^{2} u^{2} = (12 u)^{2}

= (12 u)^{2} - (11)^{2}

= (12 u)^{2} - (11)^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(12 u)^{2} - (11)^{2} = (12 u + 11) (12 u - 11)

= (12 u + 11) (12 u - 11)

= - u (12 u + 11) (12 u - 11)

Fasse zusammen

= - u (23 u + 11) (23 u - 11)

- u (23 u + 11) (23 u - 11) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

u = 0 or 23 u + 11 = 0 or 23 u - 11 = 0

Löse

23 u + 11 = 0 : u = - \frac{33}{6}

23 u + 11 = 0

Verschiebe

11

auf die rechte Seite

23 u + 11 = 0

Subtrahiere

11

von beiden Seiten

23 u + 11 - 11 = 0 - 11

Vereinfache

23 u = - 11

23 u = - 11

Teile beide Seiten durch

23

23 u = - 11

Teile beide Seiten durch

23

\frac{2 3 u}{2 3} = \frac{- 11}{2 3}

Vereinfache

\frac{2 3 u}{2 3} = \frac{- 11}{2 3}

Vereinfache

\frac{2 3 u}{2 3} : u

\frac{2 3 u}{2 3}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{3 u}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= u

Vereinfache

\frac{- 11}{2 3} : - \frac{33}{6}

\frac{- 11}{2 3}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{11}{2 3}

Rationalisiere

- \frac{11}{2 3} : - \frac{33}{6}

- \frac{11}{2 3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= - \frac{11 3}{2 3 3}

113 = 33

113

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

113 = 11 \cdot 3

= 11 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

11 \cdot 3 = 33

= 33

233 = 6

233

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6

= - \frac{33}{6}

= - \frac{33}{6}

u = - \frac{33}{6}

u = - \frac{33}{6}

u = - \frac{33}{6}

Löse

23 u - 11 = 0 : u = \frac{33}{6}

23 u - 11 = 0

Verschiebe

11

auf die rechte Seite

23 u - 11 = 0

Füge

11

zu beiden Seiten hinzu

23 u - 11 + 11 = 0 + 11

Vereinfache

23 u = 11

23 u = 11

Teile beide Seiten durch

23

23 u = 11

Teile beide Seiten durch

23

\frac{2 3 u}{2 3} = \frac{11}{2 3}

Vereinfache

\frac{2 3 u}{2 3} = \frac{11}{2 3}

Vereinfache

\frac{2 3 u}{2 3} : u

\frac{2 3 u}{2 3}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{3 u}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= u

Vereinfache

\frac{11}{2 3} : \frac{33}{6}

\frac{11}{2 3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= \frac{11 3}{2 3 3}

113 = 33

113

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

113 = 11 \cdot 3

= 11 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

11 \cdot 3 = 33

= 33

233 = 6

233

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6

= \frac{33}{6}

u = \frac{33}{6}

u = \frac{33}{6}

u = \frac{33}{6}

Die Lösungen sind

u = 0, u = - \frac{33}{6}, u = \frac{33}{6}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 0, cos (θ) = - \frac{33}{6}, cos (θ) = \frac{33}{6}

cos (θ) = 0, cos (θ) = - \frac{33}{6}, cos (θ) = \frac{33}{6}

cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{33}{6} : θ = arccos (- \frac{33}{6}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{33}{6}) + 2 πn

cos (θ) = - \frac{33}{6}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = - \frac{33}{6}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = - \frac{33}{6}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{33}{6}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{33}{6}) + 2 πn

θ = arccos (- \frac{33}{6}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{33}{6}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{33}{6} : θ = arccos (\frac{33}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{33}{6}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{33}{6}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{33}{6}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{33}{6}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{33}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{33}{6}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{33}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{33}{6}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arccos (- \frac{33}{6}) + 2 πn, θ = - arccos (- \frac{33}{6}) + 2 πn, θ = arccos (\frac{33}{6}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{33}{6}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = 2.84874 \dots + 2 πn, θ = - 2.84874 \dots + 2 πn, θ = 0.29284 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.29284 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin(x/2)=sqrt(2)

2 sin (\frac{x}{2}) = 2

cos(θ)=0.7071

cos (θ) = 0.7071

2cos(x)-5sin(x)=0

2 cos (x) - 5 sin (x) = 0

2cos^2(x)=3cos(x)+2

2 cos^{2} (x) = 3 cos (x) + 2

sin(30)=cos(2x)

sin (3 0^{\circ}) = cos (2 x)