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Beliebt Trigonometrie >

cos(x/2)-cos(x)=0

Lösung

cos (\frac{x}{2}) - cos (x) = 0

Lösung

x = \frac{8 πn}{3}, x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

Grad

x = 0^{\circ} + 48 0^{\circ} n, x = 24 0^{\circ} + 48 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (\frac{x}{2}) - cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (\frac{x}{2}) - cos (x)

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= - 2 sin (\frac{\frac{x}{2} + x}{2}) sin (\frac{\frac{x}{2} - x}{2})

Vereinfache

- 2 sin (\frac{\frac{x}{2} + x}{2}) sin (\frac{\frac{x}{2} - x}{2}) : 2 sin (\frac{x}{4}) sin (\frac{3 x}{4})

- 2 sin (\frac{\frac{x}{2} + x}{2}) sin (\frac{\frac{x}{2} - x}{2})

\frac{\frac{x}{2} + x}{2} = \frac{3 x}{4}

\frac{\frac{x}{2} + x}{2}

Füge

\frac{x}{2} + x

zusammen:

\frac{3 x}{2}

\frac{x}{2} + x

Wandle das Element in einen Bruch um:

x = \frac{x 2}{2}

= \frac{x}{2} + \frac{x \cdot 2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x + x \cdot 2}{2}

Addiere gleiche Elemente:

x + 2 x = 3 x

= \frac{3 x}{2}

= \frac{\frac{3 x}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 x}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 x}{4}

= - 2 sin (\frac{3 x}{4}) sin (\frac{\frac{x}{2} - x}{2})

\frac{\frac{x}{2} - x}{2} = - \frac{x}{4}

\frac{\frac{x}{2} - x}{2}

Füge

\frac{x}{2} - x

zusammen:

- \frac{x}{2}

\frac{x}{2} - x

Wandle das Element in einen Bruch um:

x = \frac{x 2}{2}

= \frac{x}{2} - \frac{x \cdot 2}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x - x \cdot 2}{2}

Addiere gleiche Elemente:

x - 2 x = - x

= \frac{- x}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{x}{2}

= \frac{- \frac{x}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{\frac{x}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

\frac{\frac{x}{2}}{2} = \frac{x}{2 \cdot 2}

= - \frac{x}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - \frac{x}{4}

= - 2 sin (\frac{3 x}{4}) sin (- \frac{x}{4})

Verwende die negative Winkelidentität:

sin (- x) = - sin (x)

= - 2 (- sin (\frac{x}{4})) sin (\frac{3 x}{4})

Wende Regel an

- (- a) = a

= 2 sin (\frac{x}{4}) sin (\frac{3 x}{4})

= 2 sin (\frac{x}{4}) sin (\frac{3 x}{4})

2 sin (\frac{3 x}{4}) sin (\frac{x}{4}) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (\frac{3 x}{4}) = 0 or sin (\frac{x}{4}) = 0

sin (\frac{3 x}{4}) = 0 : x = \frac{8 πn}{3}, x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

sin (\frac{3 x}{4}) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{3 x}{4}) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{3 x}{4} = 0 + 2 πn, \frac{3 x}{4} = π + 2 πn

\frac{3 x}{4} = 0 + 2 πn, \frac{3 x}{4} = π + 2 πn

Löse

\frac{3 x}{4} = 0 + 2 πn : x = \frac{8 πn}{3}

\frac{3 x}{4} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{3 x}{4} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{3 x}{4} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 \cdot 3 x}{4} = 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

3 x = 8 πn

3 x = 8 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x = 8 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} = \frac{8 πn}{3}

Vereinfache

x = \frac{8 πn}{3}

x = \frac{8 πn}{3}

Löse

\frac{3 x}{4} = π + 2 πn : x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

\frac{3 x}{4} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{3 x}{4} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 \cdot 3 x}{4} = 4 π + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

3 x = 4 π + 8 πn

3 x = 4 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

3

3 x = 4 π + 8 πn

Teile beide Seiten durch

3

\frac{3 x}{3} = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

Vereinfache

x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

x = \frac{8 πn}{3}, x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

sin (\frac{x}{4}) = 0 : x = 8 πn, x = 4 π + 8 πn

sin (\frac{x}{4}) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{x}{4}) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{x}{4} = 0 + 2 πn, \frac{x}{4} = π + 2 πn

\frac{x}{4} = 0 + 2 πn, \frac{x}{4} = π + 2 πn

Löse

\frac{x}{4} = 0 + 2 πn : x = 8 πn

\frac{x}{4} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{x}{4} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{x}{4} = 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 x}{4} = 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

x = 8 πn

x = 8 πn

Löse

\frac{x}{4} = π + 2 πn : x = 4 π + 8 πn

\frac{x}{4} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{x}{4} = π + 2 πn

Multipliziere beide Seiten mit

4

\frac{4 x}{4} = 4 π + 4 \cdot 2 πn

Vereinfache

x = 4 π + 8 πn

x = 4 π + 8 πn

x = 8 πn, x = 4 π + 8 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{8 πn}{3}, x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}, x = 8 πn, x = 4 π + 8 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

x = \frac{8 πn}{3}, x = \frac{4 π}{3} + \frac{8 πn}{3}

Graph

Beliebte Beispiele

cos(2t)=cos(t),0<= t<2pi

cos (2 t) = cos (t), 0 \leq t < 2 π

sin(θ)=sin(-(2pi)/3)

sin (θ) = sin (- \frac{2 π}{3})

sin(x)=(23/24)

sin (x) = (\frac{23}{24})

tan(θ)=-5/4

tan (θ) = - \frac{5}{4}

6tan(θ)=-2sqrt(3)

6 tan (θ) = - 23