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Beliebt Trigonometrie >

5sin(x)-12cos(x)=13

Lösung

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

Lösung

x = 2.74680 \dots + 2 πn

Grad

x = 157.38013 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

Füge

12 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

5 sin (x) = 13 + 12 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(5 sin (x))^{2} = (13 + 12 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(13 + 12 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

25 sin^{2} (x) - 169 - 312 cos (x) - 144 cos^{2} (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 sin^{2} (x) - 312 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) - 312 cos (x)

Vereinfache

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) - 312 cos (x) : - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 (1 - cos^{2} (x)) - 312 cos (x)

Multipliziere aus

25 (1 - cos^{2} (x)) : 25 - 25 cos^{2} (x)

25 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 25 \cdot 1 - 25 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 cos^{2} (x)

= - 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) - 312 cos (x)

Vereinfache

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) - 312 cos (x) : - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

- 169 - 144 cos^{2} (x) + 25 - 25 cos^{2} (x) - 312 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 144 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 169 + 25

Addiere gleiche Elemente:

- 144 cos^{2} (x) - 25 cos^{2} (x) = - 169 cos^{2} (x)

= - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 169 + 25

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 169 + 25 = - 144

= - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

= - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

= - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) - 144

- 144 - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 144 - 169 cos^{2} (x) - 312 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 144 - 169 u^{2} - 312 u = 0

- 144 - 169 u^{2} - 312 u = 0 : u = - \frac{12}{13}

- 144 - 169 u^{2} - 312 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 169 u^{2} - 312 u - 144 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 169 u^{2} - 312 u - 144 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 169, b = - 312, c = - 144

u_{1, 2} = \frac{- ( - 312 ) \pm ( - 312 ) ^{2} - 4 ( - 169 ) ( - 144 )}{2 ( - 169 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 312 ) \pm ( - 312 ) ^{2} - 4 ( - 169 ) ( - 144 )}{2 ( - 169 )}

(- 312)^{2} - 4 (- 169) (- 144) = 0

(- 312)^{2} - 4 (- 169) (- 144)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 312)^{2} - 4 \cdot 169 \cdot 144

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 312)^{2} = 31 2^{2}

= 31 2^{2} - 4 \cdot 169 \cdot 144

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 169 \cdot 144 = 97344

= 31 2^{2} - 97344

31 2^{2} = 97344

= 97344 - 97344

Subtrahiere die Zahlen:

97344 - 97344 = 0

= 0

u_{1, 2} = \frac{- ( - 312 ) \pm 0}{2 ( - 169 )}

u = \frac{- ( - 312 )}{2 ( - 169 )}

\frac{- ( - 312 )}{2 ( - 169 )} = - \frac{12}{13}

\frac{- ( - 312 )}{2 ( - 169 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{312}{- 2 \cdot 169}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 169 = 338

= \frac{312}{- 338}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{312}{338}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

26

= - \frac{12}{13}

u = - \frac{12}{13}

Die Lösung für die quadratische Gleichung ist:

u = - \frac{12}{13}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{12}{13}

cos (x) = - \frac{12}{13}

cos (x) = - \frac{12}{13} : x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{12}{13}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{12}{13}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{12}{13}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn :

Wahr

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

ein, um zu lösen

5 sin (arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) - 12 cos (arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) = 13

Fasse zusammen

13 = 13

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn :

Falsch

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1

5 sin (x) - 12 cos (x) = 13

ein, um zu lösen

5 sin (- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) - 12 cos (- arccos (- \frac{12}{13}) + 2 π 1) = 13

Fasse zusammen

9.15384 \dots = 13

\Rightarrow Falsch

x = arccos (- \frac{12}{13}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2.74680 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

6sin(θ)=1

6 sin (θ) = 1

2cos((3x-pi)/6)+1=0,0<x<2pi

2 cos (\frac{3 x - π}{6}) + 1 = 0, 0 < x < 2 π

2cos^2(a)+cos(a)-1=0

2 cos^{2} (a) + cos (a) - 1 = 0

arctan(e^x)= pi/4

arctan (e^{x}) = \frac{π}{4}

2cos^2(2x)+3cos(2x)-2=0

2 cos^{2} (2 x) + 3 cos (2 x) - 2 = 0