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2^{arccos(x)}+4^{arccos(x)+1}-2=3

Solución

2^{a r c c o s (x)} + 4^{a r c c o s (x) + 1} - 2 = 3

Solución

x = 1

Pasos de solución

2^{a r c c o s (x)} + 4^{a r c c o s (x) + 1} - 2 = 3

Usando el método de sustitución

2^{a r c c o s (x)} + 4^{a r c c o s (x) + 1} - 2 = 3

Sea:

arccos (x) = u

2^{u} + 4^{u + 1} - 2 = 3

2^{u} + 4^{u + 1} - 2 = 3 : u = 0

2^{u} + 4^{u + 1} - 2 = 3

Aplicar las leyes de los exponentes

2^{u} + 4^{u + 1} - 2 = 3

Convertir a base

2 : 2^{u} + 2^{2 (u + 1)} - 2 = 3

Convertir

4

a base

2

4 = 2^{2}

2^{u} + (2^{2})^{u + 1} - 2 = 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

(2^{2})^{u + 1} = 2^{2 (u + 1)}

2^{u} + 2^{2 (u + 1)} - 2 = 3

2^{u} + 2^{2 (u + 1)} - 2 = 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

2^{2 (u + 1)} = 2^{2 u} \cdot 2^{2}

2^{u} + 2^{2 u} \cdot 2^{2} - 2 = 3

Aplicar las leyes de los exponentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

2^{2 u} = (2^{u})^{2}

2^{u} + (2^{u})^{2} \cdot 2^{2} - 2 = 3

2^{u} + (2^{u})^{2} \cdot 2^{2} - 2 = 3

Re escribir la ecuación con

2^{u} = v

v + (v)^{2} \cdot 2^{2} - 2 = 3

Resolver

v + v^{2} \cdot 2^{2} - 2 = 3 : v = 1, v = - \frac{5}{4}

v + v^{2} \cdot 2^{2} - 2 = 3

Desarrollar

v + v^{2} \cdot 2^{2} - 2 : v + 4 v^{2} - 2

v + v^{2} \cdot 2^{2} - 2

2^{2} = 4

= v + 4 v^{2} - 2

v + 4 v^{2} - 2 = 3

Mover

3

al lado izquierdo

v + 4 v^{2} - 2 = 3

Restar

3

de ambos lados

v + 4 v^{2} - 2 - 3 = 3 - 3

Simplificar

4 v^{2} + v - 5 = 0

4 v^{2} + v - 5 = 0

Resolver con la fórmula general para ecuaciones de segundo grado:

4 v^{2} + v - 5 = 0

Formula general para ecuaciones de segundo grado:

Para

a = 4, b = 1, c = - 5

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 5 )}{2 \cdot 4}

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 5 )}{2 \cdot 4}

1^{2} - 4 \cdot 4 (- 5) = 9

1^{2} - 4 \cdot 4 (- 5)

Aplicar la regla

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 4 (- 5)

Aplicar la regla

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 4 \cdot 5

Multiplicar los numeros:

4 \cdot 4 \cdot 5 = 80

= 1 + 80

Sumar:

1 + 80 = 81

= 81

Descomponer el número en factores primos:

81 = 9^{2}

= 9^{2}

Aplicar las leyes de los exponentes:

n a^{n} = a

9^{2} = 9

= 9

v_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 9}{2 \cdot 4}

Separar las soluciones

v_{1} = \frac{- 1 + 9}{2 \cdot 4}, v_{2} = \frac{- 1 - 9}{2 \cdot 4}

v = \frac{- 1 + 9}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- 1 + 9}{2 \cdot 4}

Sumar/restar lo siguiente:

- 1 + 9 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Aplicar la regla

\frac{a}{a} = 1

= 1

v = \frac{- 1 - 9}{2 \cdot 4} : - \frac{5}{4}

\frac{- 1 - 9}{2 \cdot 4}

Restar:

- 1 - 9 = - 10

= \frac{- 10}{2 \cdot 4}

Multiplicar los numeros:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 10}{8}

Aplicar las propiedades de las fracciones:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{8}

Eliminar los terminos comunes:

2

= - \frac{5}{4}

Las soluciones a la ecuación de segundo grado son:

v = 1, v = - \frac{5}{4}

v = 1, v = - \frac{5}{4}

Sustituir hacia atrás la

v = 2^{u},

resolver para

u

Resolver

2^{u} = 1 : u = 0

2^{u} = 1

Aplicar las leyes de los exponentes

2^{u} = 1

f (x) = g (x)

, entonces

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (2^{u}) = ln (1)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

ln (x^{a}) = a \cdot ln (x)

ln (2^{u}) = u ln (2)

u ln (2) = ln (1)

u ln (2) = ln (1)

Resolver

u ln (2) = ln (1) : u = 0

u ln (2) = ln (1)

Dividir ambos lados entre

ln (2)

u ln (2) = ln (1)

Dividir ambos lados entre

ln (2)

\frac{u ln ( 2 )}{ln ( 2 )} = \frac{ln ( 1 )}{ln ( 2 )}

Simplificar

\frac{u ln ( 2 )}{ln ( 2 )} = \frac{ln ( 1 )}{ln ( 2 )}

Simplificar

\frac{u ln ( 2 )}{ln ( 2 )} : u

\frac{u ln ( 2 )}{ln ( 2 )}

Eliminar los terminos comunes:

ln (2)

= u

Simplificar

\frac{ln ( 1 )}{ln ( 2 )} : 0

\frac{ln ( 1 )}{ln ( 2 )}

Simplificar

ln (1) : 0

ln (1)

Aplicar las propiedades de los logaritmos:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

= \frac{0}{ln ( 2 )}

Aplicar la regla

\frac{0}{a} = 0, a \neq = 0

= 0

u = 0

u = 0

u = 0

u = 0

Resolver

2^{u} = - \frac{5}{4} :

Sin solución para

u \in R

2^{u} = - \frac{5}{4}

a^{f (u)}

no puede ser cero o negativo para

u \in R

Sin soluci \overset{o}{ˊ} n para u \in R

u = 0

Sustituir en la ecuación

u = arccos (x)

arccos (x) = 0

arccos (x) = 0

arccos (x) = 0 : x = 1

arccos (x) = 0

Aplicar propiedades trigonométricas inversas

arccos (x) = 0

arccos (x) = a \Rightarrow x = cos (a)

x = cos (0)

cos (0) = 1

cos (0)

Utilizar la siguiente identidad trivial:

cos (0) = 1

cos (0)

cos (x)

tabla de valores periódicos con

2 πn

intervalos:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= 1

= 1

x = 1

x = 1

Combinar toda las soluciones

x = 1

Gráfica

Ejemplos populares

csc(θ)cos(θ)sin(θ)=1

csc (θ) cos (θ) sin (θ) = 1

3cos(x)+sin(2x)=0

3 cos (x) + sin (2 x) = 0

tan(α)=0.875

tan (α) = 0.875

sin(x)= 18/31

sin (x) = \frac{18}{31}

4cos^3(x)-3cos(x)=-0.7071

4 cos^{3} (x) - 3 cos (x) = - 0.7071