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Beliebt Trigonometrie >

2cos(2θ)-3cos(θ)-2=0

Lösung

2 cos (2 θ) - 3 cos (θ) - 2 = 0

Lösung

θ = 2.33643 \dots + 2 πn, θ = - 2.33643 \dots + 2 πn

Grad

θ = 133.86809 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 133.86809 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (2 θ) - 3 cos (θ) - 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 + 2 cos (2 θ) - 3 cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 2 + 2 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 3 cos (θ)

Vereinfache

- 2 + 2 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 3 cos (θ) : 4 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 4

- 2 + 2 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 3 cos (θ)

Multipliziere aus

2 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 4 cos^{2} (θ) - 2

2 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 2 \cdot 1

Vereinfache

2 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 2 \cdot 1 : 4 cos^{2} (θ) - 2

2 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 cos^{2} (θ) - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 4 cos^{2} (θ) - 2

= 4 cos^{2} (θ) - 2

= - 2 + 4 cos^{2} (θ) - 2 - 3 cos (θ)

Vereinfache

- 2 + 4 cos^{2} (θ) - 2 - 3 cos (θ) : 4 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 4

- 2 + 4 cos^{2} (θ) - 2 - 3 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 4 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 2 - 2

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 2 = - 4

= 4 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 4

= 4 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 4

= 4 cos^{2} (θ) - 3 cos (θ) - 4

- 4 - 3 cos (θ) + 4 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 4 - 3 cos (θ) + 4 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 4 - 3 u + 4 u^{2} = 0

- 4 - 3 u + 4 u^{2} = 0 : u = \frac{3 + 73}{8}, u = \frac{3 - 73}{8}

- 4 - 3 u + 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 3 u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 3 u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 3, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 4 (- 4) = 73

(- 3)^{2} - 4 \cdot 4 (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 4

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

= 3^{2} + 64

3^{2} = 9

= 9 + 64

Addiere die Zahlen:

9 + 64 = 73

= 73

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 73}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 73}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 73}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 3 ) + 73}{2 \cdot 4} : \frac{3 + 73}{8}

\frac{- ( - 3 ) + 73}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 + 73}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{3 + 73}{8}

u = \frac{- ( - 3 ) - 73}{2 \cdot 4} : \frac{3 - 73}{8}

\frac{- ( - 3 ) - 73}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 - 73}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{3 - 73}{8}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{3 + 73}{8}, u = \frac{3 - 73}{8}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{3 + 73}{8}, cos (θ) = \frac{3 - 73}{8}

cos (θ) = \frac{3 + 73}{8}, cos (θ) = \frac{3 - 73}{8}

cos (θ) = \frac{3 + 73}{8} :

Keine Lösung

cos (θ) = \frac{3 + 73}{8}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (θ) = \frac{3 - 73}{8} : θ = arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn

cos (θ) = \frac{3 - 73}{8}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{3 - 73}{8}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{3 - 73}{8}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn, θ = - arccos (\frac{3 - 73}{8}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 2.33643 \dots + 2 πn, θ = - 2.33643 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(2θ)+6tan(θ)+8=0

tan (2 θ) + 6 tan (θ) + 8 = 0

cos(φ)=sqrt(3)sin(φ)

cos (φ) = 3 sin (φ)

5sin(x)-3cos(2x)+3=0

5 sin (x) - 3 cos (2 x) + 3 = 0

(tan^2(x))/(sec(x)+1)=tan(x)

\frac{tan ^{2} ( x )}{sec ( x ) + 1} = tan (x)

2cos^2(x)+cos(x)=1,0<= x<2pi

2 cos^{2} (x) + cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π