English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Beliebt Trigonometrie >

2cos(2x)=4cos(x)

Lösung

2 cos (2 x) = 4 cos (x)

Lösung

x = 1.94553 \dots + 2 πn, x = - 1.94553 \dots + 2 πn

Grad

x = 111.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 111.47070 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (2 x) = 4 cos (x)

Subtrahiere

4 cos (x)

von beiden Seiten

2 cos (2 x) - 4 cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

2 cos (2 x) - 4 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 2 (2 cos^{2} (x) - 1) - 4 cos (x)

(- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 2 - 4 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

(- 1 + 2 cos^{2} (x)) \cdot 2 - 4 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u = 0

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u = 0 : u = \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{1 - 3}{2}

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u = 0

Schreibe

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u

um:

- 2 + 4 u^{2} - 4 u

(- 1 + 2 u^{2}) \cdot 2 - 4 u

= 2 (- 1 + 2 u^{2}) - 4 u

Multipliziere aus

2 (- 1 + 2 u^{2}) : - 2 + 4 u^{2}

2 (- 1 + 2 u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 2, b = - 1, c = 2 u^{2}

= 2 (- 1) + 2 \cdot 2 u^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 u^{2}

Vereinfache

- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 u^{2} : - 2 + 4 u^{2}

- 2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= - 2 + 2 \cdot 2 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= - 2 + 4 u^{2}

= - 2 + 4 u^{2}

= - 2 + 4 u^{2} - 4 u

- 2 + 4 u^{2} - 4 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 4 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 4 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 4, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 43

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 4^{2} + 32

4^{2} = 16

= 16 + 32

Addiere die Zahlen:

16 + 32 = 48

= 48

Primfaktorzerlegung von

48 : 2^{4} \cdot 3

48

48

ist durch

248 = 24 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 24

24

ist durch

224 = 12 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3

= 2^{4} \cdot 3

= 2^{4} \cdot 3

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 3 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 3

Fasse zusammen

= 43

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 4 3}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 4 3}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 4 3}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 4 ) + 4 3}{2 \cdot 4} : \frac{1 + 3}{2}

\frac{- ( - 4 ) + 4 3}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 + 4 3}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 + 4 3}{8}

Faktorisiere

4 + 43 : 4 (1 + 3)

4 + 43

Schreibe um

= 4 \cdot 1 + 43

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (1 + 3)

= \frac{4 ( 1 + 3 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1 + 3}{2}

u = \frac{- ( - 4 ) - 4 3}{2 \cdot 4} : \frac{1 - 3}{2}

\frac{- ( - 4 ) - 4 3}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 - 4 3}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 - 4 3}{8}

Faktorisiere

4 - 43 : 4 (1 - 3)

4 - 43

Schreibe um

= 4 \cdot 1 - 43

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (1 - 3)

= \frac{4 ( 1 - 3 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1 - 3}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1 + 3}{2}, u = \frac{1 - 3}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}, cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}, cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = \frac{1 + 3}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{1 + 3}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{1 - 3}{2} : x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 - 3}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 3}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.94553 \dots + 2 πn, x = - 1.94553 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

(sin(42))/(22)=(sin(B))/(12)

\frac{sin ( 4 2 ^{\circ} )}{22} = \frac{sin ( B )}{12}

sin(θ)= 16/14

sin (θ) = \frac{16}{14}

tan(θ)= 83/47

tan (θ) = \frac{83}{47}

solvefor x,2sin(x)-cos(x)sin(x)=0

so l v e f or x, 2 sin (x) - cos (x) sin (x) = 0

5=5sin(4θ)

5 = 5 sin (4 θ)