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Populaire Trigonométrie >

csc^2(x)=sec(x)

Solution

csc^{2} (x) = sec (x)

Solution

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Degrés

x = 51.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 308.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

csc^{2} (x) = sec (x)

Soustraire

sec (x)

des deux côtés

csc^{2} (x) - sec (x) = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} - \frac{1}{cos ( x )} = 0

Simplifier

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} - \frac{1}{cos ( x )} : \frac{cos ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} - \frac{1}{cos ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ( x )}

Plus petit commun multiple de

sin^{2} (x), cos (x) : sin^{2} (x) cos (x)

sin^{2} (x), cos (x)

Plus petit commun multiple (PPCM)

Calculer une expression composée de facteurs qui apparaissent soit dans

sin^{2} (x)

ou dans

cos (x)

= sin^{2} (x) cos (x)

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

sin^{2} (x) cos (x)

Pour

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

cos (x)

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

Pour

\frac{1}{cos ( x )} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

sin^{2} (x)

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ^{2} ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )}

\frac{cos ( x ) - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos (x) - sin^{2} (x) = 0

Ajouter

sin^{2} (x)

aux deux côtés

cos (x) = sin^{2} (x)

Mettre les deux côtés au carré

cos^{2} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

Soustraire

(sin^{2} (x))^{2}

des deux côtés

cos^{2} (x) - sin^{4} (x) = 0

Factoriser

cos^{2} (x) - sin^{4} (x) : (cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x))

cos^{2} (x) - sin^{4} (x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (x) = (sin^{2} (x))^{2}

= cos^{2} (x) - (sin^{2} (x))^{2}

Appliquer la formule de différence de deux carrés :

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - (sin^{2} (x))^{2} = (cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x))

= (cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x))

(cos (x) + sin^{2} (x)) (cos (x) - sin^{2} (x)) = 0

En solutionnant chaque partie séparément

cos (x) + sin^{2} (x) = 0 or cos (x) - sin^{2} (x) = 0

cos (x) + sin^{2} (x) = 0 : x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) + sin^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos (x) + sin^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (x) + 1 - cos^{2} (x)

1 + cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

1 + cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

1 + u - u^{2} = 0

1 + u - u^{2} = 0 : u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

1 + u - u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u + 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

- u^{2} + u + 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = - 1, b = 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 5

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 1

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Additionner les nombres :

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 ( - 1 )}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )} : - \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 ( - 1 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )} : \frac{1 + 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 ( - 1 )}

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{- 2}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 1 - 5 = - (1 + 5)

= \frac{1 + 5}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = - \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{1 + 5}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2} : x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = - \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 + 5}{2} :

Aucune solution

cos (x) = \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) - sin^{2} (x) = 0 : x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) - sin^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos (x) - sin^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (x) - (1 - cos^{2} (x))

- (1 - cos^{2} (x)) : - 1 + cos^{2} (x)

- (1 - cos^{2} (x))

Distribuer des parenthèses

= - (1) - (- cos^{2} (x))

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (x)

= cos (x) - 1 + cos^{2} (x)

- 1 + cos (x) + cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

- 1 + cos (x) + cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

- 1 + u + u^{2} = 0

- 1 + u + u^{2} = 0 : u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 + u + u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + u - 1 = 0

Résoudre par la formule quadratique

u^{2} + u - 1 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 1, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 5

1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplier les nombres :

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 1 + 4

Additionner les nombres :

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 5}{2 \cdot 1}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 + 5}{2}

\frac{- 1 + 5}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 + 5}{2}

u = \frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 1 - 5}{2}

\frac{- 1 - 5}{2 \cdot 1}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 1 - 5}{2}

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{- 1 + 5}{2}, u = \frac{- 1 - 5}{2}

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2} : x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Appliquer les propriétés trigonométriques inverses

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{- 1 + 5}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2} :

Aucune solution

cos (x) = \frac{- 1 - 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Aucune solution

Combiner toutes les solutions

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

csc^{2} (x) = sec (x)

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Faux

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Pour

csc^{2} (x) = sec (x)

insérer

x = arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Redéfinir

1.61803 \dots = - 1.61803 \dots

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

Faux

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Insérer

n = 1

- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Pour

csc^{2} (x) = sec (x)

insérer

x = - arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (- arccos (- \frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Redéfinir

1.61803 \dots = - 1.61803 \dots

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

vrai

arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Insérer

n = 1

arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Pour

csc^{2} (x) = sec (x)

insérer

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Redéfinir

1.61803 \dots = 1.61803 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn :

vrai

2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Insérer

n = 1

2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

Pour

csc^{2} (x) = sec (x)

insérer

x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1

csc^{2} (2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1) = sec (2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 π 1)

Redéfinir

1.61803 \dots = 1.61803 \dots

\Rightarrow vrai

x = arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{- 1 + 5}{2}) + 2 πn

Montrer les solutions sous la forme décimale

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

(2cos(x)-sin^2(x))=1+cos^2(x)

(2 cos (x) - sin^{2} (x)) = 1 + cos^{2} (x)

6cos^3(x)+cos^2(x)-1=0

6 cos^{3} (x) + cos^{2} (x) - 1 = 0

4tan^2(x)+12tan(x)-27=0

4 tan^{2} (x) + 12 tan (x) - 27 = 0

sin^2(x)-cos(x)= 1/4

sin^{2} (x) - cos (x) = \frac{1}{4}

cos^4(a)=3+4cos^2(a)+cos^4(a)

cos^{4} (a) = 3 + 4 cos^{2} (a) + cos^{4} (a)