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tan(arcsin(5/13)+pi/6)

Lösung

tan (arcsin (\frac{5}{13}) + \frac{π}{6})

Lösung

\frac{240 + 169 3}{407}

Dezimale

1.30888 \dots

Schritte zur Lösung

tan (arcsin (\frac{5}{13}) + \frac{π}{6})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

\frac{tan ( arcsin ( \frac{5}{13} ) ) + tan ( \frac{π}{6} )}{1 - tan ( arcsin ( \frac{5}{13} ) ) tan ( \frac{π}{6} )}

tan (arcsin (\frac{5}{13}) + \frac{π}{6})

Benutze die Identität der Winkelsumme:

tan (s + t) = \frac{tan ( s ) + tan ( t )}{1 - tan ( s ) tan ( t )}

= \frac{tan ( arcsin ( \frac{5}{13} ) ) + tan ( \frac{π}{6} )}{1 - tan ( arcsin ( \frac{5}{13} ) ) tan ( \frac{π}{6} )}

= \frac{tan ( arcsin ( \frac{5}{13} ) ) + tan ( \frac{π}{6} )}{1 - tan ( arcsin ( \frac{5}{13} ) ) tan ( \frac{π}{6} )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

tan (arcsin (\frac{5}{13})) = \frac{5}{12}

tan (arcsin (\frac{5}{13}))

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

tan (arcsin (\frac{5}{13})) = \frac{( \frac{5}{13} ) 1 - ( \frac{5}{13} ) ^{2}}{1 - ( \frac{5}{13} ) ^{2}}

Verwende die folgende Identität:

tan (arcsin (x)) = \frac{x 1 - x ^{2}}{1 - x ^{2}}

= \frac{( \frac{5}{13} ) 1 - ( \frac{5}{13} ) ^{2}}{1 - ( \frac{5}{13} ) ^{2}}

= \frac{\frac{5}{13} 1 - ( \frac{5}{13} ) ^{2}}{1 - ( \frac{5}{13} ) ^{2}}

Vereinfache

= \frac{5}{12}

Verwende die folgende triviale Identität:

tan (\frac{π}{6}) = \frac{3}{3}

tan (\frac{π}{6})

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= \frac{3}{3}

= \frac{\frac{5}{12} + \frac{3}{3}}{1 - \frac{5}{12} \cdot \frac{3}{3}}

Vereinfache

\frac{\frac{5}{12} + \frac{3}{3}}{1 - \frac{5}{12} \cdot \frac{3}{3}} : \frac{240 + 169 3}{407}

\frac{\frac{5}{12} + \frac{3}{3}}{1 - \frac{5}{12} \cdot \frac{3}{3}}

\frac{5}{12} \cdot \frac{3}{3} = \frac{5 3}{36}

\frac{5}{12} \cdot \frac{3}{3}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{5 3}{12 \cdot 3}

Multipliziere die Zahlen:

12 \cdot 3 = 36

= \frac{5 3}{36}

= \frac{\frac{5}{12} + \frac{3}{3}}{1 - \frac{5 3}{36}}

Füge

\frac{5}{12} + \frac{3}{3}

zusammen:

\frac{5 + 4 3}{12}

\frac{5}{12} + \frac{3}{3}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

12, 3 : 12

12, 3

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

ist durch

212 = 6 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Primfaktorzerlegung von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

12

oder

3

vorkommt

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

12

Für

\frac{3}{3} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

4

\frac{3}{3} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{3 \cdot 4}{12}

= \frac{5}{12} + \frac{3 \cdot 4}{12}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 + 3 \cdot 4}{12}

= \frac{\frac{5 + 4 3}{12}}{1 - \frac{5 3}{36}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 + 3 \cdot 4}{12 ( 1 - \frac{5 3}{36} )}

Füge

1 - \frac{5 3}{36}

zusammen:

\frac{36 - 5 3}{36}

1 - \frac{5 3}{36}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 36}{36}

= \frac{1 \cdot 36}{36} - \frac{5 3}{36}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 36 - 5 3}{36}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 36 = 36

= \frac{36 - 5 3}{36}

= \frac{5 + 4 3}{12 \cdot \frac{36 - 5 3}{36}}

Multipliziere

12 \cdot \frac{36 - 5 3}{36} : \frac{36 - 5 3}{3}

12 \cdot \frac{36 - 5 3}{36}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 36 - 5 3 ) \cdot 12}{36}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

12

= \frac{36 - 5 3}{3}

= \frac{5 + 4 3}{\frac{36 - 5 3}{3}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 5 + 3 \cdot 4 ) \cdot 3}{36 - 5 3}

Rationalisiere

\frac{3 ( 5 + 4 3 )}{36 - 5 3} : \frac{240 + 169 3}{407}

\frac{3 ( 5 + 4 3 )}{36 - 5 3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{36 + 5 3}{36 + 5 3}

= \frac{( 5 + 3 \cdot 4 ) \cdot 3 ( 36 + 5 3 )}{( 36 - 5 3 ) ( 36 + 5 3 )}

(5 + 3 \cdot 4) \cdot 3 (36 + 53) = 720 + 5073

(5 + 3 \cdot 4) \cdot 3 (36 + 53)

= 3 (5 + 43) (36 + 53)

Multipliziere aus

(5 + 3 \cdot 4) (36 + 53) : 240 + 1693

(5 + 3 \cdot 4) (36 + 53)

Wende Ausklammerungsregel an (VANI):

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

a = 5, b = 3 \cdot 4, c = 36, d = 53

= 5 \cdot 36 + 5 \cdot 53 + 3 \cdot 4 \cdot 36 + 3 \cdot 4 \cdot 53

= 5 \cdot 36 + 5 \cdot 53 + 4 \cdot 363 + 4 \cdot 533

Vereinfache

5 \cdot 36 + 5 \cdot 53 + 4 \cdot 363 + 4 \cdot 533 : 240 + 1693

5 \cdot 36 + 5 \cdot 53 + 4 \cdot 363 + 4 \cdot 533

5 \cdot 36 = 180

5 \cdot 36

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 36 = 180

= 180

5 \cdot 53 = 253

5 \cdot 53

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 5 = 25

= 253

4 \cdot 363 = 1443

4 \cdot 363

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 36 = 144

= 1443

4 \cdot 533 = 60

4 \cdot 533

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 = 20

= 2033

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 20 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

20 \cdot 3 = 60

= 60

= 180 + 253 + 1443 + 60

Addiere gleiche Elemente:

253 + 1443 = 1693

= 180 + 1693 + 60

Addiere die Zahlen:

180 + 60 = 240

= 240 + 1693

= 240 + 1693

= 3 (240 + 1693)

Multipliziere aus

3 (240 + 1693) : 720 + 5073

3 (240 + 1693)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b + c) = ab + a c

a = 3, b = 240, c = 1693

= 3 \cdot 240 + 3 \cdot 1693

Vereinfache

3 \cdot 240 + 3 \cdot 1693 : 720 + 5073

3 \cdot 240 + 3 \cdot 1693

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 240 = 720

= 720 + 3 \cdot 1693

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 169 = 507

= 720 + 5073

= 720 + 5073

= 720 + 5073

(36 - 53) (36 + 53) = 1221

(36 - 53) (36 + 53)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 36, b = 53

= 3 6^{2} - (53)^{2}

Vereinfache

3 6^{2} - (53)^{2} : 1221

3 6^{2} - (53)^{2}

3 6^{2} = 1296

3 6^{2}

3 6^{2} = 1296

= 1296

(53)^{2} = 75

(53)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 5^{2} (3)^{2}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= 5^{2} \cdot 3

5^{2} = 25

= 25 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

25 \cdot 3 = 75

= 75

= 1296 - 75

Subtrahiere die Zahlen:

1296 - 75 = 1221

= 1221

= 1221

= \frac{720 + 507 3}{1221}

Faktorisiere

720 + 5073 : 3 (240 + 1693)

720 + 5073

Schreibe um

= 3 \cdot 240 + 3 \cdot 1693

Klammere gleiche Terme aus

3

= 3 (240 + 1693)

= \frac{3 ( 240 + 169 3 )}{1221}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= \frac{240 + 169 3}{407}

= \frac{240 + 169 3}{407}

= \frac{240 + 169 3}{407}

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