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provar sec(θ)-tan(θ)=(cos(θ))/(1+sin(θ))

Solução

provar

sec (θ) - tan (θ) = \frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Verdadeiro

Passos da solução

sec (θ) - tan (θ) = \frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Manipular o lado direito

sec (θ) - tan (θ)

Expresar com seno, cosseno

sec (θ) - tan (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( θ )} - tan (θ)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Simplificar

\frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

\frac{1}{cos ( θ )} - \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Aplicar a regra

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

= \frac{1 - sin ( θ )}{cos ( θ )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

Multiplicar

\frac{1 + sin ( θ )}{1 + sin ( θ )}

por

Eq u a t i o n 1

= \frac{( 1 + sin ( θ ) ) ( 1 - sin ( θ ) )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Expandir

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ)) : 1 - sin^{2} (θ)

(1 + sin (θ)) (1 - sin (θ))

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (θ)

= 1^{2} - sin^{2} (θ)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (θ)

= \frac{1 - sin ^{2} ( θ )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

1 = cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ)

1 - sin^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{( 1 + sin ( θ ) ) cos ( θ )}

Eliminar o fator comum:

cos (θ)

= \frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )}

= \frac{cos ( θ )}{1 + sin ( θ )}

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

cos (3 x) = - 1

tan (θ) = - 1

(sin (θ) + cos (θ))^{2} = 1 + sin (2 θ)

sin (x) + cos (x) = 2

sin (- \frac{3 π}{4})