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Beliebt Trigonometrie >

(sin(75)+sin(15))/(cos(105)-cos(15))

Lösung

\frac{sin ( 7 5 ^{\circ} ) + sin ( 1 5 ^{\circ} )}{cos ( 10 5 ^{\circ} ) - cos ( 1 5 ^{\circ} )}

Lösung

- 1

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( 7 5 ^{\circ} ) + sin ( 1 5 ^{\circ} )}{cos ( 10 5 ^{\circ} ) - cos ( 1 5 ^{\circ} )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

sin (7 5^{\circ}) + sin (1 5^{\circ}) = 2 sin (4 5^{\circ}) cos (3 0^{\circ})

sin (7 5^{\circ}) + sin (1 5^{\circ})

Benutze die Identität von Summe und Produkt:

sin (s) + sin (t) = 2 sin (\frac{s + t}{2}) cos (\frac{s - t}{2})

= 2 sin (\frac{7 5 ^{\circ} + 1 5 ^{\circ}}{2}) cos (\frac{7 5 ^{\circ} - 1 5 ^{\circ}}{2})

Vereinfache

= 2 sin (4 5^{\circ}) cos (3 0^{\circ})

= \frac{2 sin ( 4 5 ^{\circ} ) cos ( 3 0 ^{\circ} )}{cos ( 10 5 ^{\circ} ) - cos ( 1 5 ^{\circ} )}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (4 5^{\circ})

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{2}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (3 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

cos (3 0^{\circ})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (10 5^{\circ}) = \frac{2 ( 1 - 3 )}{4}

cos (10 5^{\circ})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (6 0^{\circ}) cos (4 5^{\circ}) - sin (6 0^{\circ}) sin (4 5^{\circ})

cos (10 5^{\circ})

Schreibe

cos (10 5^{\circ})

als

cos (6 0^{\circ} + 4 5^{\circ})

= cos (6 0^{\circ} + 4 5^{\circ})

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (6 0^{\circ}) cos (4 5^{\circ}) - sin (6 0^{\circ}) sin (4 5^{\circ})

= cos (6 0^{\circ}) cos (4 5^{\circ}) - sin (6 0^{\circ}) sin (4 5^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (6 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

cos (6 0^{\circ})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

cos (4 5^{\circ})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (6 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

sin (6 0^{\circ})

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{3}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (4 5^{\circ})

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}

Vereinfache

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} : \frac{2 ( 1 - 3 )}{4}

\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}

Klammere gleiche Terme aus

\frac{2}{2}

= \frac{2}{2} (\frac{1}{2} - \frac{3}{2})

\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = \frac{1 - 3}{2}

\frac{1}{2} - \frac{3}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - 3}{2}

= \frac{2}{2} \cdot \frac{1 - 3}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{( 1 - 3 ) 2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 ( 1 - 3 )}{4}

= \frac{2 ( 1 - 3 )}{4}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (1 5^{\circ}) = \frac{6 + 2}{4}

cos (1 5^{\circ})

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten:

cos (4 5^{\circ}) cos (3 0^{\circ}) + sin (4 5^{\circ}) sin (3 0^{\circ})

cos (1 5^{\circ})

Schreibe

cos (1 5^{\circ})

als

cos (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ})

= cos (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ})

Benutze die Winkel-Differenz-Identität:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= cos (4 5^{\circ}) cos (3 0^{\circ}) + sin (4 5^{\circ}) sin (3 0^{\circ})

= cos (4 5^{\circ}) cos (3 0^{\circ}) + sin (4 5^{\circ}) sin (3 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

cos (4 5^{\circ})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (3 0^{\circ}) = \frac{3}{2}

cos (3 0^{\circ})

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x 18 0^{\circ} 21 0^{\circ} 22 5^{\circ} 24 0^{\circ} 27 0^{\circ} 30 0^{\circ} 31 5^{\circ} 33 0^{\circ} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (4 5^{\circ}) = \frac{2}{2}

sin (4 5^{\circ})

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{2}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (3 0^{\circ}) = \frac{1}{2}

sin (3 0^{\circ})

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

36 0^{\circ} n

Zyklus:

= \frac{1}{2}

= \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2}

Vereinfache

\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} : \frac{6 + 2}{4}

\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2}

\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{6}{4}

\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{2 3}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2 3}{4}

Vereinfache

23 : 6

23

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

23 = 2 \cdot 3

= 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6

= \frac{6}{4}

\frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{4}

\frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

Multipliziere:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

= \frac{6}{4} + \frac{2}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{6 + 2}{4}

= \frac{6 + 2}{4}

= \frac{2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}}{\frac{2 ( 1 - 3 )}{4} - \frac{6 + 2}{4}}

Vereinfache

\frac{2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}}{\frac{2 ( 1 - 3 )}{4} - \frac{6 + 2}{4}} : - 1

\frac{2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}}{\frac{2 ( 1 - 3 )}{4} - \frac{6 + 2}{4}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2 ( 1 - 3 )}{4} - \frac{6 + 2}{4} : \frac{2 ( 1 - 3 ) - ( 6 + 2 )}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 ( 1 - 3 ) - ( 6 + 2 )}{4}

= \frac{2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}}{\frac{2 ( 1 - 3 ) - ( 6 + 2 )}{4}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 4}{2 ( 1 - 3 ) - ( 6 + 2 )}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}}{2 ( 1 - 3 ) - ( 6 + 2 )}

Multipliziere

8 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} : 26

8 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{d}{e} = \frac{a \cdot b \cdot d}{c \cdot e}

= \frac{2 3 \cdot 8}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8 2 3}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= 223

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

23 = 2 \cdot 3

= 2 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 26

= \frac{2 6}{2 ( 1 - 3 ) - ( 6 + 2 )}

Multipliziere aus

2 (1 - 3) - (6 + 2) : - 26

2 (1 - 3) - (6 + 2)

Multipliziere aus

2 (1 - 3) : 2 - 6

2 (1 - 3)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = 3

= 2 \cdot 1 - 23

= 1 \cdot 2 - 23

Vereinfache

1 \cdot 2 - 23 : 2 - 6

1 \cdot 2 - 23

1 \cdot 2 = 2

1 \cdot 2

Multipliziere:

1 \cdot 2 = 2

= 2

23 = 6

23

Wende Radikal Regel an:

a b = a \cdot b

23 = 2 \cdot 3

= 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 3 = 6

= 6

= 2 - 6

= 2 - 6

= 2 - 6 - (6 + 2)

- (6 + 2) : - 6 - 2

- (6 + 2)

Setze Klammern

= - (6) - (2)

Wende Minus-Plus Regeln an

+ (- a) = - a

= - 6 - 2

= 2 - 6 - 6 - 2

Vereinfache

2 - 6 - 6 - 2 : - 26

2 - 6 - 6 - 2

Addiere gleiche Elemente:

2 - 2 = 0

= - 6 - 6

Addiere gleiche Elemente:

- 6 - 6 = - 26

= - 26

= - 26

= \frac{2 6}{- 2 6}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 6}{2 6}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

= - 1

Beliebte Beispiele

sec^2(8)

sec^{2} (8)

arccot(-5)

arccot (- 5)

cos(180-60)

cos (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ})

cot(pi/(18))

cot (\frac{π}{18})

7/(cos(65))

\frac{7}{cos ( 6 5 ^{\circ} )}