What is expand (Ae^{ic}-Be^{id})^2 ?

The solution to expand (Ae^{ic}-Be^{id})^2 is

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expand (Ae^{ic}-Be^{id})^2

expand

(A e^{i c} - B e^{i d})^{2}

(- A^{2} sin^{2} (c) + 2 A B sin (d) sin (c) - B^{2} sin^{2} (d) + A^{2} cos^{2} (c) - 2 A B cos (d) cos (c) + B^{2} cos^{2} (d)) + i (A^{2} sin (2 c) + B^{2} sin (2 d) - 2 A B cos (c) sin (d) - 2 A B cos (d) sin (c))

Solution steps

(A e^{i c} - B e^{i d})^{2}

e^{i c} = cos (c) + i sin (c)

= (A (cos (c) + i sin (c)) - B e^{i d})^{2}

e^{i d} = cos (d) + i sin (d)

= (A (cos (c) + i sin (c)) - B (cos (d) + i sin (d)))^{2}

Expand

A (cos (c) + sin (c) i) - B (cos (d) + sin (d) i) : A cos (c) + i A sin (c) - B cos (d) - i B sin (d)

= (A cos (c) + i A sin (c) - B cos (d) - i B sin (d))^{2}

(A cos (c) + i A sin (c) - B cos (d) - i B sin (d))^{2} = (A cos (c) + i A sin (c) - B cos (d) - i B sin (d)) (A cos (c) + i A sin (c) - B cos (d) - i B sin (d))

= (i A sin (c) - i B sin (d) + A cos (c) - B cos (d)) (i A sin (c) - i B sin (d) + A cos (c) - B cos (d))

Expand

(A cos (c) + i A sin (c) - B cos (d) - i B sin (d)) (A cos (c) + i A sin (c) - B cos (d) - i B sin (d)) : 2 i A^{2} sin (c) cos (c) - 2 i A B sin (d) cos (c) - A^{2} sin^{2} (c) - 2 i A B cos (d) sin (c) + 2 A B sin (d) sin (c) + 2 i B^{2} sin (d) cos (d) - B^{2} sin^{2} (d) + A^{2} cos^{2} (c) - 2 A B cos (d) cos (c) + B^{2} cos^{2} (d)

= 2 i A^{2} sin (c) cos (c) - 2 i A B sin (d) cos (c) - A^{2} sin^{2} (c) - 2 i A B cos (d) sin (c) + 2 A B sin (d) sin (c) + 2 i B^{2} sin (d) cos (d) - B^{2} sin^{2} (d) + A^{2} cos^{2} (c) - 2 A B cos (d) cos (c) + B^{2} cos^{2} (d)

Use the Double Angle identity:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= i A^{2} sin (2 c) - 2 i A B sin (d) cos (c) - A^{2} sin^{2} (c) - 2 i A B cos (d) sin (c) + 2 A B sin (d) sin (c) + 2 i B^{2} sin (d) cos (d) - B^{2} sin^{2} (d) + A^{2} cos^{2} (c) - 2 A B cos (d) cos (c) + B^{2} cos^{2} (d)

Use the Double Angle identity:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= i A^{2} sin (2 c) - 2 i A B sin (d) cos (c) - A^{2} sin^{2} (c) - 2 i A B cos (d) sin (c) + 2 A B sin (d) sin (c) + i B^{2} sin (2 d) - B^{2} sin^{2} (d) + A^{2} cos^{2} (c) - 2 A B cos (d) cos (c) + B^{2} cos^{2} (d)

Rewrite

sin (2 c) i A^{2} - 2 i A B sin (d) cos (c) - A^{2} sin^{2} (c) - 2 i A B cos (d) sin (c) + 2 A B sin (d) sin (c) + sin (2 d) i B^{2} - B^{2} sin^{2} (d) + A^{2} cos^{2} (c) - 2 A B cos (d) cos (c) + B^{2} cos^{2} (d)

in standard complex form:

(- A^{2} sin^{2} (c) + 2 A B sin (d) sin (c) - B^{2} sin^{2} (d) + A^{2} cos^{2} (c) - 2 A B cos (d) cos (c) + B^{2} cos^{2} (d)) + (sin (2 c) A^{2} - 2 A B sin (d) cos (c) - 2 A B cos (d) sin (c) + sin (2 d) B^{2}) i

= (- A^{2} sin^{2} (c) + 2 A B sin (d) sin (c) - B^{2} sin^{2} (d) + A^{2} cos^{2} (c) - 2 A B cos (d) cos (c) + B^{2} cos^{2} (d)) + (sin (2 c) A^{2} - 2 A B sin (d) cos (c) - 2 A B cos (d) sin (c) + sin (2 d) B^{2}) i

(- 2) (x - y = 10)

, 4 x^{2} - 1 + (2 x + 1)^{2} + x (2 x + 1)

\frac{1}{2} (e^{\frac{t}{2}} + e^{- \frac{t}{2}})

f^{'} (2) (5 + ∣ x - 2 ∣)

δ, (x - 2)

What is expand (Ae^{ic}-Be^{id})^2 ?
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