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integral of t/(1-t^3)

解

\int \frac{t}{1 - t ^{3}} d t

解

- \frac{1}{3} ln ∣ t - 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 t ^{2} + 4 t}{3} + 23 arctan (\frac{2 t + 1}{3})) + C

解答ステップ

\int \frac{t}{1 - t ^{3}} d t

因数

1 - t^{3} : - (- 1 + t^{3})

= \int \frac{t}{- ( - 1 + t ^{3} )} d t

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{t}{- 1 + t ^{3}} d t

以下の部分分数を得る:

\frac{t}{- 1 + t ^{3}} : \frac{1}{3 ( t - 1 )} + \frac{- t + 1}{3 ( t ^{2} + t + 1 )}

= - \int \frac{1}{3 ( t - 1 )} + \frac{- t + 1}{3 ( t ^{2} + t + 1 )} d t

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (\int \frac{1}{3 ( t - 1 )} d t + \int \frac{- t + 1}{3 ( t ^{2} + t + 1 )} d t)

\int \frac{1}{3 ( t - 1 )} d t = \frac{1}{3} ln ∣ t - 1 ∣

\int \frac{- t + 1}{3 ( t ^{2} + t + 1 )} d t = \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 t ^{2} + 4 t}{3} + 23 arctan (\frac{2 t + 1}{3}))

= - (\frac{1}{3} ln ∣ t - 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 t ^{2} + 4 t}{3} + 23 arctan (\frac{2 t + 1}{3})))

簡素化

- (\frac{1}{3} ln ∣ t - 1 ∣ + \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 t ^{2} + 4 t}{3} + 23 arctan (\frac{2 t + 1}{3}))) : - \frac{1}{3} ln ∣ t - 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 t ^{2} + 4 t}{3} + 23 arctan (\frac{2 t + 1}{3}))

= - \frac{1}{3} ln ∣ t - 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 t ^{2} + 4 t}{3} + 23 arctan (\frac{2 t + 1}{3}))

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{3} ln ∣ t - 1 ∣ - \frac{1}{6} (- ln \frac{4}{3} + \frac{4 t ^{2} + 4 t}{3} + 23 arctan (\frac{2 t + 1}{3})) + C

グラフ

人気の例

\frac{d y}{d x} = x + 4 y

(\partial)/(\partial x)(y/(y-x))

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{y}{y - x})

integral from 1 to 2 of 4xsqrt(3x^2-1)

\int_{1}^{2} 4 x 3 x^{2} - 1 d x

derivative f(x)=(pix)^2

d er i v a t i v e f (x) = (π x)^{2}

derivative y=e^x2^x

d er i v a t i v e y = e^{x} 2^{x}