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integral de 1/(x(x+a))

Solução

\int \frac{1}{x ( x + a )} d x

\frac{1}{a} (- ln (\frac{∣ x + a ∣}{∣ a ∣}) + ln \frac{x + a}{a} - 1) + C

Passos da solução

\int \frac{1}{x ( x + a )} d x

Aplicar integração por substituição

: \int \frac{1}{( u - a ) u} d u

= \int \frac{1}{( u - a ) u} d u

u - a = a (\frac{u}{a} - 1)

= \int \frac{1}{a ( \frac{u}{a} - 1 ) u} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{( \frac{u}{a} - 1 ) u} d u

Aplicar integração por substituição

: \int \frac{1}{v ( v - 1 )} d v

= \frac{1}{a} \cdot \int \frac{1}{v ( v - 1 )} d v

Tirar a fração parcial de

\frac{1}{v ( v - 1 )} : - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1}

= \frac{1}{a} \cdot \int - \frac{1}{v} + \frac{1}{v - 1} d v

Aplicar a regra da soma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{a} (- \int \frac{1}{v} d v + \int \frac{1}{v - 1} d v)

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

\int \frac{1}{v - 1} d v = ln ∣ v - 1 ∣

= \frac{1}{a} (- ln ∣ v ∣ + ln ∣ v - 1 ∣)

Substituir na equação

= \frac{1}{a} (- ln \frac{x + a}{a} + ln \frac{x + a}{a} - 1)

Aplicar as propriedades dos valores absolutos:

\frac{a}{b} = \frac{∣ a ∣}{∣ b ∣}

\frac{x + a}{a} = \frac{∣ x + a ∣}{∣ a ∣}

= \frac{1}{a} (- ln (\frac{∣ x + a ∣}{∣ a ∣}) + ln \frac{x + a}{a} - 1)

Adicionar uma constante à solução

= \frac{1}{a} (- ln (\frac{∣ x + a ∣}{∣ a ∣}) + ln \frac{x + a}{a} - 1) + C

\int \frac{32}{1 - cos ( 8 x )} d x

\int \frac{1}{4} e^{2 x} d x

\frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x} + 2 x)

\int_{4}^{9} \frac{1}{7 - x} d x

\frac{d y}{d x} = e^{6 x} + 12 y