интеграл от (x^2-x+4)/(x^3+2x)

Решение

\int \frac{x ^{2} - x + 4}{x ^{3} + 2 x} d x

2 ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 2 - \frac{1}{2} arctan (\frac{x}{2}) + C

Шаги решения

\int \frac{x ^{2} - x + 4}{x ^{3} + 2 x} d x

Извлечь элементарную дробь из

\frac{x ^{2} - x + 4}{x ^{3} + 2 x} : \frac{2}{x} + \frac{- x - 1}{x ^{2} + 2}

= \int \frac{2}{x} + \frac{- x - 1}{x ^{2} + 2} d x

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{2}{x} d x + \int \frac{- x - 1}{x ^{2} + 2} d x

\int \frac{2}{x} d x = 2 ln ∣ x ∣

\int \frac{- x - 1}{x ^{2} + 2} d x = - \frac{1}{2} ln x^{2} + 2 - \frac{1}{2} arctan (\frac{x}{2})

= 2 ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 2 - \frac{1}{2} arctan (\frac{x}{2})

Добавить константу к решению

= 2 ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln x^{2} + 2 - \frac{1}{2} arctan (\frac{x}{2}) + C