интеграл от (sec(x))/(1+sin(x))

Решение

\int \frac{sec ( x )}{1 + sin ( x )} d x

\frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (x) ∣ - \frac{1}{2 ( 1 + sin ( x ) )} - \frac{1}{4} ln ∣ sin (x) - 1 ∣ + C

Шаги решения

\int \frac{sec ( x )}{1 + sin ( x )} d x

Примените тригонометрическую подстановку

: \int \frac{1}{( 1 + u ) ( 1 - u ^{2} )} d u

= \int \frac{1}{( 1 + u ) ( 1 - u ^{2} )} d u

Применить подстановку интеграла

: \int \frac{1}{v ( - v ^{2} + 2 v )} d v

= \int \frac{1}{v ( - v ^{2} + 2 v )} d v

коэффициент

\frac{1}{v ( - v ^{2} + 2 v )}

= \int \frac{1}{- v ^{2} ( v - 2 )} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{1}{v ^{2} ( v - 2 )} d v

Извлечь элементарную дробь из

\frac{1}{v ^{2} ( v - 2 )} : - \frac{1}{4 v} - \frac{1}{2 v ^{2}} + \frac{1}{4 ( v - 2 )}

= - \int - \frac{1}{4 v} - \frac{1}{2 v ^{2}} + \frac{1}{4 ( v - 2 )} d v

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- \int \frac{1}{4 v} d v - \int \frac{1}{2 v ^{2}} d v + \int \frac{1}{4 ( v - 2 )} d v)

\int \frac{1}{4 v} d v = \frac{1}{4} ln ∣ v ∣

\int \frac{1}{2 v ^{2}} d v = - \frac{1}{2 v}

\int \frac{1}{4 ( v - 2 )} d v = \frac{1}{4} ln ∣ v - 2 ∣

= - (- \frac{1}{4} ln ∣ v ∣ - (- \frac{1}{2 v}) + \frac{1}{4} ln ∣ v - 2 ∣)

Делаем обратную замену

= - (- \frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (x) ∣ - (- \frac{1}{2 ( 1 + sin ( x ) )}) + \frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (x) - 2 ∣)

Упростите

- (- \frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (x) ∣ - (- \frac{1}{2 ( 1 + sin ( x ) )}) + \frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (x) - 2 ∣) : \frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (x) ∣ - \frac{1}{2 ( 1 + sin ( x ) )} - \frac{1}{4} ln ∣ sin (x) - 1 ∣

= \frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (x) ∣ - \frac{1}{2 ( 1 + sin ( x ) )} - \frac{1}{4} ln ∣ sin (x) - 1 ∣

Добавить константу к решению

= \frac{1}{4} ln ∣ 1 + sin (x) ∣ - \frac{1}{2 ( 1 + sin ( x ) )} - \frac{1}{4} ln ∣ sin (x) - 1 ∣ + C