integral of-kxe^{-kx}

解

\int - k x e^{- k x} d x

e^{- k x} x + \frac{e ^{- k x}}{k} + C

解答ステップ

\int - k x e^{- k x} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - k \cdot \int x e^{- k x} d x

u置換積分法を適用する

: \int \frac{e ^{u} u}{k ^{2}} d u

= - k \cdot \int \frac{e ^{u} u}{k ^{2}} d u

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - k \frac{1}{k ^{2}} \cdot \int e^{u} u d u

部分積分を適用する

: e^{u} u - \int e^{u} d u

= - k \frac{1}{k ^{2}} (e^{u} u - \int e^{u} d u)

\int e^{u} d u = e^{u}

= - k \frac{1}{k ^{2}} (e^{u} u - e^{u})

代用を戻す

u = - k x

= - k \frac{1}{k ^{2}} (e^{- k x} (- k x) - e^{- k x})

簡素化

- k \frac{1}{k ^{2}} (e^{- k x} (- k x) - e^{- k x}) : e^{- k x} x + \frac{e ^{- k x}}{k}

= e^{- k x} x + \frac{e ^{- k x}}{k}

定数を解答に追加する

= e^{- k x} x + \frac{e ^{- k x}}{k} + C