интеграл от (sin(x)cos(x))/(1-cos(x))

Решение

\int \frac{sin ( x ) cos ( x )}{1 - cos ( x )} d x

- 1 + cos (x) + ln ∣ 1 - cos (x) ∣ + C

Шаги решения

\int \frac{sin ( x ) cos ( x )}{1 - cos ( x )} d x

Применить подстановку интеграла

: \int - \frac{u}{1 - u} d u

= \int - \frac{u}{1 - u} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - \int \frac{u}{1 - u} d u

Применить подстановку интеграла

: \int - \frac{- v + 1}{v} d v

= - \int - \frac{- v + 1}{v} d v

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - (- \int \frac{- v + 1}{v} d v)

Расширить

\frac{- v + 1}{v} : - 1 + \frac{1}{v}

= - (- \int - 1 + \frac{1}{v} d v)

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= - (- (- \int 1 d v + \int \frac{1}{v} d v))

\int 1 d v = v

\int \frac{1}{v} d v = ln ∣ v ∣

= - (- (- v + ln ∣ v ∣))

Делаем обратную замену

= - (- (- (1 - cos (x)) + ln ∣ 1 - cos (x) ∣))

После упрощения получаем

= - 1 + cos (x) + ln ∣ 1 - cos (x) ∣

Добавить константу к решению

= - 1 + cos (x) + ln ∣ 1 - cos (x) ∣ + C