integral de (v(v^2-1))/(v^2+1)

Solução

\int \frac{v ( v ^{2} - 1 )}{v ^{2} + 1} d v

- ln v^{2} + 1 + \frac{1}{2} v^{2} + C

Passos da solução

\int \frac{v ( v ^{2} - 1 )}{v ^{2} + 1} d v

Aplicar integração por substituição

: \int \frac{u - 1}{2 ( u + 1 )} d u

= \int \frac{u - 1}{2 ( u + 1 )} d u

Remover a constante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int \frac{u - 1}{u + 1} d u

\frac{u - 1}{u + 1} = - \frac{2}{u + 1} + 1

= \frac{1}{2} \cdot \int - \frac{2}{u + 1} + 1 d u

Aplicar a regra da soma:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int \frac{2}{u + 1} d u + \int 1 d u)

\int \frac{2}{u + 1} d u = 2 ln ∣ u + 1 ∣

\int 1 d u = u

= \frac{1}{2} (- 2 ln ∣ u + 1 ∣ + u)

Substituir na equação

u = v^{2}

= \frac{1}{2} (- 2 ln v^{2} + 1 + v^{2})

Simplificar

\frac{1}{2} (- 2 ln v^{2} + 1 + v^{2}) : - ln v^{2} + 1 + \frac{1}{2} v^{2}

= - ln v^{2} + 1 + \frac{1}{2} v^{2}

Adicionar uma constante à solução

= - ln v^{2} + 1 + \frac{1}{2} v^{2} + C

\int cos (- 3 x) (sin (- 3 x))^{- 5} d x

\int \frac{1}{e ^{2 t} - 1} d t

\int \frac{x}{( 2 x ^{2} + 3 ) ^{3}} d x

\int \frac{x ^{2} + x + 1}{( x - 1 ) ^{2} ( x + 3 )} d x

\int \frac{4 + x}{x} d x