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証明する cot(θ)+(sin(θ))/(1+cos(θ))=csc(θ)

解

証明する

cot (θ) + \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )} = csc (θ)

解

真

解答ステップ

cot (θ) + \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )} = csc (θ)

左側を操作する

cot (θ) + \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )}

サイン, コサインで表わす

cot (θ) + \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )}

簡素化

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )} : \frac{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )}

以下の最小公倍数:

sin (θ), 1 + cos (θ) : sin (θ) (cos (θ) + 1)

sin (θ), 1 + cos (θ)

最小公倍数 (LCM)

sin (θ)

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

1 + cos (θ)

= sin (θ) (cos (θ) + 1)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

sin (θ) (cos (θ) + 1)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos (θ) + 1

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

\frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{1 + cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{( 1 + cos ( θ ) ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

= \frac{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

= \frac{cos ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 ) + sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

= \frac{sin ^{2} ( θ ) + ( 1 + cos ( θ ) ) cos ( θ )}{( 1 + cos ( θ ) ) sin ( θ )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{sin ^{2} ( θ ) + ( 1 + cos ( θ ) ) cos ( θ )}{( 1 + cos ( θ ) ) sin ( θ )}

ピタゴラスの公式を使用する:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ ) + ( 1 + cos ( θ ) ) cos ( θ )}{( 1 + cos ( θ ) ) sin ( θ )}

簡素化

\frac{1 - cos ^{2} ( θ ) + ( 1 + cos ( θ ) ) cos ( θ )}{( 1 + cos ( θ ) ) sin ( θ )} : \frac{1}{sin ( θ )}

\frac{1 - cos ^{2} ( θ ) + ( 1 + cos ( θ ) ) cos ( θ )}{( 1 + cos ( θ ) ) sin ( θ )}

拡張

1 - cos^{2} (θ) + (1 + cos (θ)) cos (θ) : cos (θ) + 1

1 - cos^{2} (θ) + (1 + cos (θ)) cos (θ)

= 1 - cos^{2} (θ) + cos (θ) (1 + cos (θ))

拡張

cos (θ) (1 + cos (θ)) : cos (θ) + cos^{2} (θ)

cos (θ) (1 + cos (θ))

分配法則を適用する:

a (b + c) = ab + a c

a = cos (θ), b = 1, c = cos (θ)

= cos (θ) \cdot 1 + cos (θ) cos (θ)

= 1 \cdot cos (θ) + cos (θ) cos (θ)

簡素化

1 \cdot cos (θ) + cos (θ) cos (θ) : cos (θ) + cos^{2} (θ)

1 \cdot cos (θ) + cos (θ) cos (θ)

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

1 \cdot cos (θ)

乗算:

1 \cdot cos (θ) = cos (θ)

= cos (θ)

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

指数の規則を適用する:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

数を足す:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

= cos (θ) + cos^{2} (θ)

= cos (θ) + cos^{2} (θ)

= 1 - cos^{2} (θ) + cos (θ) + cos^{2} (θ)

簡素化

1 - cos^{2} (θ) + cos (θ) + cos^{2} (θ) : cos (θ) + 1

1 - cos^{2} (θ) + cos (θ) + cos^{2} (θ)

条件のようなグループ

= - cos^{2} (θ) + cos (θ) + cos^{2} (θ) + 1

類似した元を足す:

- cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) = 0

= cos (θ) + 1

= cos (θ) + 1

= \frac{cos ( θ ) + 1}{sin ( θ ) ( cos ( θ ) + 1 )}

共通因数を約分する:

cos (θ) + 1

= \frac{1}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )}

= \frac{1}{sin ( θ )}

三角関数の公式を使用して書き換える

基本的な三角関数の公式を使用する:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( θ )}}

簡素化

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( θ )}}

分数の規則を適用する:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( θ )}{1}

規則を適用

\frac{a}{1} = a

= csc (θ)

csc (θ)

csc (θ)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する (sin(pi/2+x))/(sin(pi-x))=cot(x)証明する

\frac{sin ( \frac{π}{2} + x )}{sin ( π - x )} = cot (x)

証明する cos(x)*csc(x)=cot(x)証明する

cos (x) \cdot csc (x) = cot (x)

証明する sin(4x)=4sin(x)cos(x)cos(2x)証明する

sin (4 x) = 4 sin (x) cos (x) cos (2 x)

証明する (cot(-θ))/(csc(θ))=-cos(θ)証明する

\frac{cot ( - θ )}{csc ( θ )} = - cos (θ)

証明する sec(α)-cos(α)=sin(α)tan(α)証明する

sec (α) - cos (α) = sin (α) tan (α)