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provar (1-tan^2(b))/(1+tan^2(b))=cos(2b)

Solução

provar

\frac{1 - tan ^{2} ( b )}{1 + tan ^{2} ( b )} = cos (2 b)

Verdadeiro

Passos da solução

\frac{1 - tan ^{2} ( b )}{1 + tan ^{2} ( b )} = cos (2 b)

Manipular o lado direito

\frac{1 - tan ^{2} ( b )}{1 + tan ^{2} ( b )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{1 - tan ^{2} ( b )}{1 + tan ^{2} ( b )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( b )}{c o s ( b )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( b )}{c o s ( b )} ) ^{2}}

Simplificar

\frac{1 - ( \frac{s i n ( b )}{c o s ( b )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( b )}{c o s ( b )} ) ^{2}} : \frac{cos ^{2} ( b ) - sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b ) + sin ^{2} ( b )}

\frac{1 - ( \frac{s i n ( b )}{c o s ( b )} ) ^{2}}{1 + ( \frac{s i n ( b )}{c o s ( b )} ) ^{2}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - ( \frac{s i n ( b )}{c o s ( b )} ) ^{2}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( b )}{c o s ^{2} ( b )}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( b )}{c o s ^{2} ( b )}}{1 + \frac{s i n ^{2} ( b )}{c o s ^{2} ( b )}}

Simplificar

1 + \frac{sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )}

em uma fração:

\frac{cos ^{2} ( b ) + sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )}

1 + \frac{sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )} + \frac{sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( b ) + sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )}

Multiplicar:

1 \cdot cos^{2} (b) = cos^{2} (b)

= \frac{cos ^{2} ( b ) + sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )}

= \frac{1 - \frac{s i n ^{2} ( b )}{c o s ^{2} ( b )}}{\frac{c o s ^{2} ( b ) + s i n ^{2} ( b )}{c o s ^{2} ( b )}}

Simplificar

1 - \frac{sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )}

em uma fração:

\frac{cos ^{2} ( b ) - sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )}

1 - \frac{sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )}

Converter para fração:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )} - \frac{sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ^{2} ( b ) - sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )}

Multiplicar:

1 \cdot cos^{2} (b) = cos^{2} (b)

= \frac{cos ^{2} ( b ) - sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( b ) - s i n ^{2} ( b )}{c o s ^{2} ( b )}}{\frac{c o s ^{2} ( b ) + s i n ^{2} ( b )}{c o s ^{2} ( b )}}

Dividir frações:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ^{2} ( b ) - sin ^{2} ( b ) ) cos ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b ) ( cos ^{2} ( b ) + sin ^{2} ( b ) )}

Eliminar o fator comum:

cos^{2} (b)

= \frac{cos ^{2} ( b ) - sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b ) + sin ^{2} ( b )}

= \frac{cos ^{2} ( b ) - sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b ) + sin ^{2} ( b )}

= \frac{cos ^{2} ( b ) - sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b ) + sin ^{2} ( b )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{cos ^{2} ( b ) - sin ^{2} ( b )}{cos ^{2} ( b ) + sin ^{2} ( b )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{cos ^{2} ( b ) - sin ^{2} ( b )}{1}

Aplicar a regra

\frac{a}{1} = a

= cos^{2} (b) - sin^{2} (b)

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= cos (2 b)

= cos (2 b)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e sec (x) (sec (x) - cos (x)) = tan^{2} (x)

p ro v e \frac{1}{sin ( x )} - sin (x) = cot (x) cos (x)

p ro v e sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 (sin (x))^{3}

p ro v e \frac{sin ( θ ) - 1}{cos ( θ )} = tan (θ) - sec (θ)

p ro v e cot (x) \cdot sec (x) = csc (x)