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dimostrare (sin(x))/(1-cos(x))=cot(x)+csc(x)

Soluzione

dimostrare

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} = cot (x) + csc (x)

Vero

Fasi della soluzione

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )} = cot (x) + csc (x)

Manipolando il lato sinistro

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{sin ( x )}{1 - cos ( x )}

Moltiplica per

\frac{1 + cos ( x )}{1 + cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{\frac{( 1 - c o s ( x ) ) ( 1 + c o s ( x ) )}{1 + c o s ( x )}}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(1 - cos (x)) (1 + cos (x)) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{sin ( x )}{\frac{1 - c o s ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}}

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ( x )}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}}

Semplifica

\frac{sin ( x )}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}} : \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{sin ( x )}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{sin ( x ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ^{2} ( x )}

Cancella il fattore comune:

sin (x)

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

Manipolando il lato destro

cot (x) + csc (x)

Esprimere con sen e cos

cot (x) + csc (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + csc (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Semplifica

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )} : \frac{cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e tan (3 0^{\circ}) = \frac{sin ( 3 0 ^{\circ} )}{cos ( 3 0 ^{\circ} )}

p ro v e tan (2 x) - sin (2 x) = tan (2 x) sin (2 x)

p ro v e \frac{2 - sec ^{2} ( x )}{sec ^{2} ( x )} = cos (2 x)

p ro v e \frac{cos ( β )}{1 - sin ( β )} = sec (β) + tan (β)

p ro v e tan^{2} (y) - sin^{2} (y) = tan^{2} (y) sin^{2} (y)