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受欢迎的三角函数 >

7cos^2(x)-5cos(x)+sin^2(x)<= 0

解答

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

解答

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn or - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

+2

间隔符号

[\frac{π}{3} + 2 πn, arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn] \cup [- arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn, \frac{5 π}{3} + 2 πn]

十进制

1.04719 \dots + 2 πn \leq x \leq 1.23095 \dots + 2 πn or 5.05222 \dots + 2 πn \leq x \leq 5.23598 \dots + 2 πn

求解步骤

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + sin^{2} (x) \leq 0

利用以下特性:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

因此

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

7 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 1 - cos^{2} (x) \leq 0

化简

6 cos^{2} (x) - 5 cos (x) + 1 \leq 0

令

: u = cos (x)

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0 : \frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

6 u^{2} - 5 u + 1 \leq 0

分解

6 u^{2} - 5 u + 1 : (3 u - 1) (2 u - 1)

6 u^{2} - 5 u + 1

将表达式拆分成组

6 u^{2} - 5 u + 1

定义

6

的因数:

1, 2, 3, 6

6

约数 (因数)

找到

6

的质因数:

2, 3

6

6

除以

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 3

添加质因数:

2, 3

将 1 和数字

6

自身相加

1, 6

6

的因数

1, 2, 3, 6

6

的负因数:

- 1, - 2, - 3, - 6

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2, - 3, - 6

对于每两个因数

u * v = 6

，检验是否

u + v = - 5

检验

u = 1, v = 6 : u * v = 6, u + v = 7 \Rightarrow

假检验

u = 2, v = 3 : u * v = 6, u + v = 5 \Rightarrow

假

u = - 2, v = - 3

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

= (6 u^{2} - 2 u) + (- 3 u + 1)

从

6 u^{2} - 2 u

分解出因式

2 u

:

2 u (3 u - 1)

6 u^{2} - 2 u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 6 uu - 2 u

将

6

改写为

2 \cdot 3

= 2 \cdot 3 uu - 2 u

因式分解出通项

2 u

= 2 u (3 u - 1)

从

- 3 u + 1

分解出因式

- 1

:

- (3 u - 1)

- 3 u + 1

因式分解出通项

- 1

= - (3 u - 1)

= 2 u (3 u - 1) - (3 u - 1)

因式分解出通项

3 u - 1

= (3 u - 1) (2 u - 1)

(3 u - 1) (2 u - 1) \leq 0

确定区间

确定

(3 u - 1) (2 u - 1)

符号

确定

3 u - 1

符号

3 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{3}

3 u - 1 = 0

将

1

到右边

3 u - 1 = 0

两边加上

1

3 u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

3 u = 1

3 u = 1

两边除以

3

3 u = 1

两边除以

3

\frac{3 u}{3} = \frac{1}{3}

化简

u = \frac{1}{3}

u = \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{3}

3 u - 1 < 0

将

1

到右边

3 u - 1 < 0

两边加上

1

3 u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

3 u < 1

3 u < 1

两边除以

3

3 u < 1

两边除以

3

\frac{3 u}{3} < \frac{1}{3}

化简

u < \frac{1}{3}

u < \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{3}

3 u - 1 > 0

将

1

到右边

3 u - 1 > 0

两边加上

1

3 u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

3 u > 1

3 u > 1

两边除以

3

3 u > 1

两边除以

3

\frac{3 u}{3} > \frac{1}{3}

化简

u > \frac{1}{3}

u > \frac{1}{3}

确定

2 u - 1

符号

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

将

1

到右边

2 u - 1 = 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

2 u = 1

2 u = 1

两边除以

2

2 u = 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

化简

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

将

1

到右边

2 u - 1 < 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

2 u < 1

2 u < 1

两边除以

2

2 u < 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

化简

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

将

1

到右边

2 u - 1 > 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

2 u > 1

2 u > 1

两边除以

2

2 u > 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

化简

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

总结如下表：

3 u - 1 2 u - 1 (3 u - 1) (2 u - 1) u < \frac{1}{3} - - + u = \frac{1}{3} 0 - 0 \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} + - - u = \frac{1}{2} + 00 u > \frac{1}{2} + + +

确定满足所需条件的区间：

\leq 0

u = \frac{1}{3} or \frac{1}{3} < u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

合并重叠的区间

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2} or u = \frac{1}{2}

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u = \frac{1}{3}

or

\frac{1}{3} < u < \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

\frac{1}{3} \leq u < \frac{1}{2}

or

u = \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq u \leq \frac{1}{2}

u = cos (x)

代回

\frac{1}{3} \leq cos (x) \leq \frac{1}{2}

若

a \leq u \leq b

，则

a \leq u and u \leq b

\frac{1}{3} \leq cos (x) and cos (x) \leq \frac{1}{2}

\frac{1}{3} \leq cos (x) : - arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

\frac{1}{3} \leq cos (x)

交换两边

cos (x) \geq \frac{1}{3}

对于

cos (x) \geq a

，若

- 1 < a < 1

，则

- arccos (a) + 2 πn \leq x \leq arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2} : \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) \leq \frac{1}{2}

对于

cos (x) \leq a

，若

- 1 < a < 1

，则

arccos (a) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq 2 π - arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

化简

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

化简

2 π - arccos (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{3}

2 π - arccos (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - \frac{π}{3}

化简

2 π - \frac{π}{3}

将项转换为分式:

2 π = \frac{2 π 3}{3}

= \frac{2 π 3}{3} - \frac{π}{3}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 π 3 - π}{3}

2 π 3 - π = 5 π

2 π 3 - π

数字相乘:

2 \cdot 3 = 6

= 6 π - π

同类项相加:

6 π - π = 5 π

= 5 π

= \frac{5 π}{3}

= \frac{5 π}{3}

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

合并区间

- arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn and \frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

合并重叠的区间

\frac{π}{3} + 2 πn \leq x \leq arccos (\frac{1}{3}) + 2 πn or - arccos (\frac{1}{3}) + 2 π + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{3} + 2 πn

流行的例子

cos (- x) < 0

sin (x^{2}) \geq 0

sin(x)+cos(x)<= 2

sin (x) + cos (x) \leq 2

2cos^2(x)+sin(2x)<= 0

2 cos^{2} (x) + sin (2 x) \leq 0

cos(2x)> 1/(sqrt(2))

cos (2 x) > \frac{1}{2}