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cos^2(θ)-3sin(2θ)+sin^2(θ)+2sin^2(2θ)=0

Lösung

cos^{2} (θ) - 3 sin (2 θ) + sin^{2} (θ) + 2 sin^{2} (2 θ) = 0

Lösung

θ = \frac{π}{4} + πn, θ = \frac{π}{12} + πn, θ = \frac{5 π}{12} + πn

Grad

θ = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 1 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 7 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos^{2} (θ) - 3 sin (2 θ) + sin^{2} (θ) + 2 sin^{2} (2 θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) + 2 sin^{2} (2 θ) - 3 sin (2 θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 2 sin^{2} (2 θ) - 3 sin (2 θ) + 1

1 + 2 sin^{2} (2 θ) - 3 sin (2 θ) = 0

Löse mit Substitution

1 + 2 sin^{2} (2 θ) - 3 sin (2 θ) = 0

Angenommen:

sin (2 θ) = u

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0 : u = 1, u = \frac{1}{2}

1 + 2 u^{2} - 3 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - 3 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 2}

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1

(- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 3^{2} - 8

3^{2} = 9

= 9 - 8

Subtrahiere die Zahlen:

9 - 8 = 1

= 1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 1}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 + 1}{2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

3 + 1 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{3 - 1}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 1 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (2 θ)

ein

sin (2 θ) = 1, sin (2 θ) = \frac{1}{2}

sin (2 θ) = 1, sin (2 θ) = \frac{1}{2}

sin (2 θ) = 1 : θ = \frac{π}{4} + πn

sin (2 θ) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (2 θ) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Löse

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn : θ = \frac{π}{4} + πn

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = \frac{π}{2} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

θ = \frac{π}{4} + πn

sin (2 θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{12} + πn, θ = \frac{5 π}{12} + πn

sin (2 θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (2 θ) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 θ = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Löse

2 θ = \frac{π}{6} + 2 πn : θ = \frac{π}{12} + πn

2 θ = \frac{π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = \frac{π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{12} + πn

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{12} + πn

θ = \frac{π}{12} + πn

θ = \frac{π}{12} + πn

θ = \frac{π}{12} + πn

Löse

2 θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn : θ = \frac{5 π}{12} + πn

2 θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Vereinfache

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{5 π}{12} + πn

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} = \frac{5 π}{12}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{5 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{5 π}{12} + πn

θ = \frac{5 π}{12} + πn

θ = \frac{5 π}{12} + πn

θ = \frac{5 π}{12} + πn

θ = \frac{π}{12} + πn, θ = \frac{5 π}{12} + πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{4} + πn, θ = \frac{π}{12} + πn, θ = \frac{5 π}{12} + πn

Beliebte Beispiele

tan^2(x)cos(x)+cos^2(x)=1

tan^{2} (x) cos (x) + cos^{2} (x) = 1

sinh(x)= 3/2

sinh (x) = \frac{3}{2}

a=2sin(30+x)-cos(x)

a = 2 sin (3 0^{\circ} + x) - cos (x)

3sin^2(x)-6sin(x)=-3

3 sin^{2} (x) - 6 sin (x) = - 3

tan(x/2)-csc(x)=0

tan (\frac{x}{2}) - csc (x) = 0