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2cos^3(x)-cos^2(x)+2cos(x)-1=0

Lösung

2 cos^{3} (x) - cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

+1

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos^{3} (x) - cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 1 = 0

Löse mit Substitution

2 cos^{3} (x) - cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 1 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

2 u^{3} - u^{2} + 2 u - 1 = 0

2 u^{3} - u^{2} + 2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = i, u = - i

2 u^{3} - u^{2} + 2 u - 1 = 0

Faktorisiere

2 u^{3} - u^{2} + 2 u - 1 : (2 u - 1) (u^{2} + 1)

2 u^{3} - u^{2} + 2 u - 1

= (2 u^{3} - u^{2}) + (2 u - 1)

Klammere

u^{2}

aus

2 u^{3} - u^{2}

aus

: u^{2} (2 u - 1)

2 u^{3} - u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= 2 u u^{2} - u^{2}

Klammere gleiche Terme aus

u^{2}

= u^{2} (2 u - 1)

= (2 u - 1) + u^{2} (2 u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u - 1

= (2 u - 1) (u^{2} + 1)

(2 u - 1) (u^{2} + 1) = 0

Anwendung des Nullfaktorprinzips: Wenn

ab = 0

dann

a = 0

oder

b = 0

2 u - 1 = 0 or u^{2} + 1 = 0

Löse

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 u = 1

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

Löse

u^{2} + 1 = 0 : u = i, u = - i

u^{2} + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u^{2} + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = - 1, u = - - 1

Vereinfache

- 1 : i

- 1

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= i

Vereinfache

- - 1 : - i

- - 1

Wende imaginäre Zahlenregel an:

- 1 = i

= - i

u = i, u = - i

Die Lösungen sind

u = \frac{1}{2}, u = i, u = - i

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = i, cos (x) = - i

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = i, cos (x) = - i

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = i :

Keine Lösung

cos (x) = i

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = - i :

Keine Lösung

cos (x) = - i

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

solvefor x,-44sin(2x)+42cos(2x)=0 löse nach

x, - 44 sin (2 x) + 42 cos (2 x) = 0

sin^2(x)-sin(x)=1-sin^2(x)

sin^{2} (x) - sin (x) = 1 - sin^{2} (x)

sin (x) = \frac{2 π}{3}

cos(3x)+sin(2x)+cos(x)=0

cos (3 x) + sin (2 x) + cos (x) = 0

tan (2 θ) = 1.333