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Popolare Trigonometria >

sec(x)+tan(x)=sqrt(3)

Soluzione

sec (x) + tan (x) = 3

Soluzione

x = \frac{π}{6} + 2 πn

Gradi

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

sec (x) + tan (x) = 3

Sottrarre

3

da entrambi i lati

sec (x) + tan (x) - 3 = 0

Esprimere con sen e cos

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 3 = 0

Semplifica

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 3 : \frac{1 + sin ( x ) - 3 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 3

Combinare le frazioni

\frac{1}{cos ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{1 + sin ( x )}{cos ( x )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) + 1}{cos ( x )} - 3

Converti l'elemento in frazione:

3 = \frac{3 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{3 cos ( x )}{cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( x ) - 3 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 + sin ( x ) - 3 cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 + sin (x) - 3 cos (x) = 0

Aggiungi

3 cos (x)

ad entrambi i lati

1 + sin (x) = 3 cos (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(1 + sin (x))^{2} = (3 cos (x))^{2}

Sottrarre

(3 cos (x))^{2}

da entrambi i lati

(1 + sin (x))^{2} - 3 cos^{2} (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

(1 + sin (x))^{2} - 3 cos^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 + sin (x))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (x))

Semplificare

(1 + sin (x))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (x)) : 4 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 2

(1 + sin (x))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (x))

(1 + sin (x))^{2} : 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

Applicare la formula del quadrato perfetto:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Semplifica

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x) : 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot sin (x) + sin^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 3 (1 - sin^{2} (x))

Espandi

- 3 (1 - sin^{2} (x)) : - 3 + 3 sin^{2} (x)

- 3 (1 - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = sin^{2} (x)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) sin^{2} (x)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 sin^{2} (x)

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 sin^{2} (x)

= 1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 3 + 3 sin^{2} (x)

Semplifica

1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 3 + 3 sin^{2} (x) : 4 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 2

1 + 2 sin (x) + sin^{2} (x) - 3 + 3 sin^{2} (x)

Raggruppa termini simili

= 2 sin (x) + sin^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) + 1 - 3

Aggiungi elementi simili:

sin^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) = 4 sin^{2} (x)

= 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) + 1 - 3

Aggiungi/Sottrai i numeri:

1 - 3 = - 2

= 4 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 2

= 4 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 2

= 4 sin^{2} (x) + 2 sin (x) - 2

- 2 + 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 2 + 2 sin (x) + 4 sin^{2} (x) = 0

Sia:

sin (x) = u

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 1

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + 2 u - 2 = 0

Risolvi con la formula quadratica

4 u^{2} + 2 u - 2 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 4, b = 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Applicare la regola

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Aggiungi i numeri:

4 + 32 = 36

= 36

Fattorizzare il numero:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 6}{2 \cdot 4}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4} : \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4}

Aggiungi/Sottrai i numeri:

- 2 + 6 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Cancella il fattore comune:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4} : - 1

\frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4}

Sottrai i numeri:

- 2 - 6 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8}{8}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{8}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = \frac{1}{2}, u = - 1

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - 1

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - 1

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - 1 : x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) = - 1

Soluzioni generali per

sin (x) = - 1

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

sec (x) + tan (x) = 3

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{π}{6} + 2 πn :

Vero

\frac{π}{6} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{π}{6} + 2 π 1

Per

sec (x) + tan (x) = 3

inserisci la

x = \frac{π}{6} + 2 π 1

sec (\frac{π}{6} + 2 π 1) + tan (\frac{π}{6} + 2 π 1) = 3

Affinare

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Vero

Verificare la soluzione

\frac{5 π}{6} + 2 πn :

Falso

\frac{5 π}{6} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{5 π}{6} + 2 π 1

Per

sec (x) + tan (x) = 3

inserisci la

x = \frac{5 π}{6} + 2 π 1

sec (\frac{5 π}{6} + 2 π 1) + tan (\frac{5 π}{6} + 2 π 1) = 3

Affinare

- 1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

\frac{3 π}{2} + 2 πn :

Falso

\frac{3 π}{2} + 2 πn

Inserire in

n = 1

\frac{3 π}{2} + 2 π 1

Per

sec (x) + tan (x) = 3

inserisci la

x = \frac{3 π}{2} + 2 π 1

sec (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) + tan (\frac{3 π}{2} + 2 π 1) = 3

“ N o n d e f ini t o “

\Rightarrow Falso

x = \frac{π}{6} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

cos(x)= 10/21

cos (x) = \frac{10}{21}

sqrt(3)tan^2(θ)+2tan(θ)-sqrt(3)=0

3 tan^{2} (θ) + 2 tan (θ) - 3 = 0

sec(x)= 25/7

sec (x) = \frac{25}{7}

sin(x/2)= 1/2 sin(x)

sin (\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} sin (x)

csc(2θ)= 1/2 (sec(θ))(cos(θ))

csc (2 θ) = \frac{1}{2} (sec (θ)) (cos (θ))