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1+cot^2(x)=8sin(x)

Lösung

1 + cot^{2} (x) = 8 sin (x)

Lösung

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Grad

x = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

1 + cot^{2} (x) = 8 sin (x)

Subtrahiere

8 sin (x)

von beiden Seiten

1 + cot^{2} (x) - 8 sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + cot^{2} (x) - 8 sin (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= 1 + (\frac{cos ( x )}{sin ( x )})^{2} - 8 sin (x)

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= 1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - 8 sin (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= 1 + \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - 8 sin (x)

1 + \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - 8 sin (x) = 0

Löse mit Substitution

1 + \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} - 8 sin (x) = 0

Angenommen:

sin (x) = u

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u = 0

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u^{2}

1 \cdot u^{2} + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} u^{2} - 8 u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Vereinfache

1 \cdot u^{2} + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} u^{2} - 8 u u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Vereinfache

1 \cdot u^{2} : u^{2}

1 \cdot u^{2}

Multipliziere:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= u^{2}

Vereinfache

\frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} u^{2} : 1 - u^{2}

\frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} u^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( 1 - u ^{2} ) u ^{2}}{u ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u^{2}

= 1 - u^{2}

Vereinfache

- 8 u u^{2} : - 8 u^{3}

- 8 u u^{2}

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= - 8 u^{1 + 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 2 = 3

= - 8 u^{3}

Vereinfache

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

u^{2} + 1 - u^{2} - 8 u^{3} = 0

Vereinfache

u^{2} + 1 - u^{2} - 8 u^{3} : - 8 u^{3} + 1

u^{2} + 1 - u^{2} - 8 u^{3}

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 8 u^{3} + u^{2} - u^{2} + 1

Addiere gleiche Elemente:

u^{2} - u^{2} = 0

= - 8 u^{3} + 1

- 8 u^{3} + 1 = 0

- 8 u^{3} + 1 = 0

- 8 u^{3} + 1 = 0

Löse

- 8 u^{3} + 1 = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

- 8 u^{3} + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

- 8 u^{3} + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

- 8 u^{3} + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- 8 u^{3} = - 1

- 8 u^{3} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 8

- 8 u^{3} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 8

\frac{- 8 u ^{3}}{- 8} = \frac{- 1}{- 8}

Vereinfache

u^{3} = \frac{1}{8}

u^{3} = \frac{1}{8}

Für

x^{3} = f (a)

sind die Lösungen

Wende Radikal Regel an:

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

Faktorisiere die Zahl:

8 = 2^{3}

Wende Radikal Regel an:

= 2

Wende Regel an

= \frac{1}{2}

Vereinfache

Wende Radikal Regel an:

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

Faktorisiere die Zahl:

8 = 2^{3}

Wende Radikal Regel an:

= 2

Wende Regel an

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 3 i}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot ( - 1 + 3 i )}{2 \cdot 2}

1 \cdot (- 1 + 3 i) = - 1 + 3 i

1 \cdot (- 1 + 3 i)

Multipliziere:

1 \cdot (- 1 + 3 i) = (- 1 + 3 i)

= (- 1 + 3 i)

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - 1 + 3 i

= \frac{- 1 + 3 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 + 3 i}{4}

Schreibe

\frac{- 1 + 3 i}{4}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{1}{4} + \frac{3}{4} i

\frac{- 1 + 3 i}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 + 3 i}{4} = - \frac{1}{4} + \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} + \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} i

Vereinfache

Wende Radikal Regel an:

angenommen

a \geq 0, b \geq 0

Faktorisiere die Zahl:

8 = 2^{3}

Wende Radikal Regel an:

= 2

Wende Regel an

= \frac{1}{2}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 - 3 i}{2}

Multipliziere Brüche:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot ( - 1 - 3 i )}{2 \cdot 2}

1 \cdot (- 1 - 3 i) = - 1 - 3 i

1 \cdot (- 1 - 3 i)

Multipliziere:

1 \cdot (- 1 - 3 i) = (- 1 - 3 i)

= (- 1 - 3 i)

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - 1 - 3 i

= \frac{- 1 - 3 i}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 1 - 3 i}{4}

Schreibe

\frac{- 1 - 3 i}{4}

in der Standard komplexen Form um:

- \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i

\frac{- 1 - 3 i}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{- 1 - 3 i}{4} = - \frac{1}{4} - \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} - \frac{3 i}{4}

= - \frac{1}{4} - \frac{3}{4} i

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

1 + \frac{1 - u ^{2}}{u ^{2}} - 8 u

und vergleiche mit Null

Löse

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Wende Regel an

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, u = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, sin (x) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}, sin (x) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4} :

Keine Lösung

sin (x) = - \frac{1}{4} + i \frac{3}{4}

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4} :

Keine Lösung

sin (x) = - \frac{1}{4} - i \frac{3}{4}

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Beliebte Beispiele

4sin^2(x)=8sin^2(x/2)

4 sin^{2} (x) = 8 sin^{2} (\frac{x}{2})

(cos(x)-3sin(x))/(sin(x)+3cos(x))=-1/2

\frac{cos ( x ) - 3 sin ( x )}{sin ( x ) + 3 cos ( x )} = - \frac{1}{2}

cos(pi/2-x)=0

cos (\frac{π}{2} - x) = 0

1sin(45)=2.42sin(r)

1 sin (4 5^{\circ}) = 2.42 sin (r)

sec(x)=4sin(x)

sec (x) = 4 sin (x)