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arctan(x)+arctan(3x)+arctan(7x)=180

Solução

arctan (x) + arctan (3 x) + arctan (7 x) = 18 0^{\circ}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

Passos da solução

arctan (x) + arctan (3 x) + arctan (7 x) = 18 0^{\circ}

Subtrair

18 0^{\circ}

de ambos os lados

arctan (x) + arctan (3 x) + arctan (7 x) - 18 0^{\circ} = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

arctan (3 x) + arctan (7 x) + arctan (x) - 18 0^{\circ}

Use a identidade da transformação de soma em produto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (x) - 18 0^{\circ} + arctan (\frac{3 x + 7 x}{1 - 3 x \cdot 7 x})

\frac{3 x + 7 x}{1 - 3 x \cdot 7 x} = \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}}

\frac{3 x + 7 x}{1 - 3 x \cdot 7 x}

Somar elementos similares:

3 x + 7 x = 10 x

= \frac{10 x}{1 - 3 \cdot 7 xx}

1 - 3 x \cdot 7 x = 1 - 21 x^{2}

1 - 3 x \cdot 7 x

3 x \cdot 7 x = 21 x^{2}

3 x \cdot 7 x

Multiplicar os números:

3 \cdot 7 = 21

= 21 xx

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= 21 x^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= 21 x^{2}

= 1 - 21 x^{2}

= \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}}

= arctan (x) - 18 0^{\circ} + arctan (\frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}})

Use a identidade da transformação de soma em produto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= - 18 0^{\circ} + arctan (\frac{\frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} + x}{1 - \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} x})

- 18 0^{\circ} + arctan (\frac{\frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} + x}{1 - \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} x}) = 0

Mova

18 0^{\circ}

para o lado direito

- 18 0^{\circ} + arctan (\frac{\frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} + x}{1 - \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} x}) = 0

Adicionar

18 0^{\circ}

a ambos os lados

- 18 0^{\circ} + arctan (\frac{\frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} + x}{1 - \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} x}) + 18 0^{\circ} = 0 + 18 0^{\circ}

Simplificar

arctan (\frac{\frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} + x}{1 - \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} x}) = 18 0^{\circ}

arctan (\frac{\frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} + x}{1 - \frac{10 x}{1 - 21 x ^{2}} x}) = 18 0^{\circ}

- \frac{π}{2} < arctan (x) < \frac{π}{2}

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

arctan (x) + arctan (3 x) + arctan (7 x) = 18 0^{\circ}

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o para x \in R

2 cos (a) = 1

cos^{2} (x) = (\frac{1}{2})

3 sin (\frac{π}{2} x) = 2

3 cos (A) - 1 = 0

cot (\frac{x}{2}) = - 1