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5cos(x)+2sin(x)=2

Solução

5 cos (x) + 2 sin (x) = 2

Solução

x = - 0.80978 \dots + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Graus

x = - 46.39718 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

5 cos (x) + 2 sin (x) = 2

Subtrair

2 sin (x)

de ambos os lados

5 cos (x) = 2 - 2 sin (x)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(5 cos (x))^{2} = (2 - 2 sin (x))^{2}

Subtrair

(2 - 2 sin (x))^{2}

de ambos os lados

25 cos^{2} (x) - 4 + 8 sin (x) - 4 sin^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- 4 + 25 cos^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Simplificar

- 4 + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x) : 8 sin (x) - 29 sin^{2} (x) + 21

- 4 + 25 (1 - sin^{2} (x)) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Expandir

25 (1 - sin^{2} (x)) : 25 - 25 sin^{2} (x)

25 (1 - sin^{2} (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 25, b = 1, c = sin^{2} (x)

= 25 \cdot 1 - 25 sin^{2} (x)

Multiplicar os números:

25 \cdot 1 = 25

= 25 - 25 sin^{2} (x)

= - 4 + 25 - 25 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Simplificar

- 4 + 25 - 25 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x) : 8 sin (x) - 29 sin^{2} (x) + 21

- 4 + 25 - 25 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Somar elementos similares:

- 25 sin^{2} (x) - 4 sin^{2} (x) = - 29 sin^{2} (x)

= - 4 + 25 - 29 sin^{2} (x) + 8 sin (x)

Somar/subtrair:

- 4 + 25 = 21

= 8 sin (x) - 29 sin^{2} (x) + 21

= 8 sin (x) - 29 sin^{2} (x) + 21

= 8 sin (x) - 29 sin^{2} (x) + 21

21 - 29 sin^{2} (x) + 8 sin (x) = 0

Usando o método de substituição

21 - 29 sin^{2} (x) + 8 sin (x) = 0

Sea:

sin (x) = u

21 - 29 u^{2} + 8 u = 0

21 - 29 u^{2} + 8 u = 0 : u = - \frac{21}{29}, u = 1

21 - 29 u^{2} + 8 u = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 29 u^{2} + 8 u + 21 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 29 u^{2} + 8 u + 21 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 29, b = 8, c = 21

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 29 ) \cdot 21}{2 ( - 29 )}

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 8 ^{2} - 4 ( - 29 ) \cdot 21}{2 ( - 29 )}

8^{2} - 4 (- 29) \cdot 21 = 50

8^{2} - 4 (- 29) \cdot 21

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 8^{2} + 4 \cdot 29 \cdot 21

Multiplicar os números:

4 \cdot 29 \cdot 21 = 2436

= 8^{2} + 2436

8^{2} = 64

= 64 + 2436

Somar:

64 + 2436 = 2500

= 2500

Fatorar o número:

2500 = 5 0^{2}

= 5 0^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

5 0^{2} = 50

= 50

u_{1, 2} = \frac{- 8 \pm 50}{2 ( - 29 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 8 + 50}{2 ( - 29 )}, u_{2} = \frac{- 8 - 50}{2 ( - 29 )}

u = \frac{- 8 + 50}{2 ( - 29 )} : - \frac{21}{29}

\frac{- 8 + 50}{2 ( - 29 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 8 + 50}{- 2 \cdot 29}

Somar/subtrair:

- 8 + 50 = 42

= \frac{42}{- 2 \cdot 29}

Multiplicar os números:

2 \cdot 29 = 58

= \frac{42}{- 58}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{42}{58}

Eliminar o fator comum:

2

= - \frac{21}{29}

u = \frac{- 8 - 50}{2 ( - 29 )} : 1

\frac{- 8 - 50}{2 ( - 29 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 8 - 50}{- 2 \cdot 29}

Subtrair:

- 8 - 50 = - 58

= \frac{- 58}{- 2 \cdot 29}

Multiplicar os números:

2 \cdot 29 = 58

= \frac{- 58}{- 58}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{58}{58}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{21}{29}, u = 1

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = - \frac{21}{29}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{21}{29}, sin (x) = 1

sin (x) = - \frac{21}{29} : x = arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{21}{29}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

sin (x) = - \frac{21}{29}

Soluções gerais para

sin (x) = - \frac{21}{29}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 πn

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluções gerais para

sin (x) = 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

5 cos (x) + 2 sin (x) = 2

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 πn :

Verdadeiro

arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 πn

Inserir

n = 1

arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 π 1

Para

5 cos (x) + 2 sin (x) = 2

inserir

x = arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 π 1

5 cos (arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 π 1) + 2 sin (arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

2 = 2

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 πn :

Falso

π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 πn

Inserir

n = 1

π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 π 1

Para

5 cos (x) + 2 sin (x) = 2

inserir

x = π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 π 1

5 cos (π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 π 1) + 2 sin (π + arcsin (\frac{21}{29}) + 2 π 1) = 2

Simplificar

- 4.89655 \dots = 2

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

\frac{π}{2} + 2 πn :

Verdadeiro

\frac{π}{2} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Para

5 cos (x) + 2 sin (x) = 2

inserir

x = \frac{π}{2} + 2 π 1

5 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1) + 2 sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 2

Simplificar

2 = 2

\Rightarrow Verdadeiro

x = arcsin (- \frac{21}{29}) + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = - 0.80978 \dots + 2 πn, x = \frac{π}{2} + 2 πn

Exemplos populares

sqrt(2sin(2x))=0

2 sin (2 x) = 0

2cos(x)+cos(2x)=0

2 cos (x) + cos (2 x) = 0

solvefor x,-sin(x+y)=0 resolver para

x, - sin (x + y) = 0

cot(θ)=-1/2

cot (θ) = - \frac{1}{2}

sin(2θ)+sin(θ)+2cos(θ)+1=0,0<= θ<= 2pi

sin (2 θ) + sin (θ) + 2 cos (θ) + 1 = 0, 0 \leq θ \leq 2 π