解
cot2(x)=tan(21x)
解
x=2⋅0.47448…+2πn,x=2⋅1.34922…+2πn
+1
度
x=54.37186…∘+360∘n,x=154.60973…∘+360∘n解答ステップ
cot2(x)=tan(21x)
両辺からtan(21x)を引くcot2(x)−tan(2x)=0
仮定:u=2xcot2(2u)−tan(u)=0
三角関数の公式を使用して書き換える
cot2(2u)−tan(u)
基本的な三角関数の公式を使用する: cot(x)=tan(x)1=(tan(2u)1)2−tan(u)
(tan(2u)1)2=tan2(2u)1
(tan(2u)1)2
指数の規則を適用する: (ba)c=bcac=tan2(2u)12
規則を適用 1a=112=1=tan2(2u)1
=tan2(2u)1−tan(u)
2倍角の公式を使用: tan(2x)=1−tan2(x)2tan(x)=(1−tan2(u)2tan(u))21−tan(u)
簡素化 (1−tan2(u)2tan(u))21−tan(u):4tan2(u)(1−tan2(u))2−tan(u)
(1−tan2(u)2tan(u))21−tan(u)
(1−tan2(u)2tan(u))21=22tan2(u)(1−tan2(u))2
(1−tan2(u)2tan(u))21
(1−tan2(u)2tan(u))2=(1−tan2(u))222tan2(u)
(1−tan2(u)2tan(u))2
指数の規則を適用する: (ba)c=bcac=(1−tan2(u))2(2tan(u))2
指数の規則を適用する: (a⋅b)n=anbn(2tan(u))2=22tan2(u)=(1−tan2(u))222tan2(u)
=(1−tan2(u))222tan2(u)1
分数の規則を適用する: cb1=bc=22tan2(u)(1−tan2(u))2
=22tan2(u)(−tan2(u)+1)2−tan(u)
22=4=4tan2(u)(−tan2(u)+1)2−tan(u)
=4tan2(u)(1−tan2(u))2−tan(u)
4tan2(u)(1−tan2(u))2−tan(u)=0
置換で解く
4tan2(u)(1−tan2(u))2−tan(u)=0
仮定:tan(u)=u4u2(1−u2)2−u=0
4u2(1−u2)2−u=0:u≈0.51361…,u≈4.43910…
4u2(1−u2)2−u=0
以下で両辺を乗じる:4u2
4u2(1−u2)2−u=0
以下で両辺を乗じる:4u24u2(1−u2)2⋅4u2−u⋅4u2=0⋅4u2
簡素化
4u2(1−u2)2⋅4u2−u⋅4u2=0⋅4u2
簡素化 4u2(1−u2)2⋅4u2:(1−u2)2
4u2(1−u2)2⋅4u2
分数を乗じる: a⋅cb=ca⋅b=4u2(1−u2)2⋅4u2
共通因数を約分する:4=u2(1−u2)2u2
共通因数を約分する:u2=(1−u2)2
簡素化 −u⋅4u2:−4u3
−u⋅4u2
指数の規則を適用する: ab⋅ac=ab+cuu2=u1+2=−4u1+2
数を足す:1+2=3=−4u3
簡素化 0⋅4u2:0
0⋅4u2
規則を適用 0⋅a=0=0
(1−u2)2−4u3=0
(1−u2)2−4u3=0
(1−u2)2−4u3=0
解く (1−u2)2−4u3=0:u≈0.51361…,u≈4.43910…
(1−u2)2−4u3=0
拡張 (1−u2)2−4u3:1−2u2+u4−4u3
(1−u2)2−4u3
(1−u2)2:1−2u2+u4
完全平方式を適用する: (a−b)2=a2−2ab+b2a=1,b=u2
=12−2⋅1⋅u2+(u2)2
簡素化 12−2⋅1⋅u2+(u2)2:1−2u2+u4
12−2⋅1⋅u2+(u2)2
規則を適用 1a=112=1=1−2⋅1⋅u2+(u2)2
2⋅1⋅u2=2u2
2⋅1⋅u2
数を乗じる:2⋅1=2=2u2
(u2)2=u4
(u2)2
指数の規則を適用する: (ab)c=abc=u2⋅2
数を乗じる:2⋅2=4=u4
=1−2u2+u4
=1−2u2+u4
=1−2u2+u4−4u3
1−2u2+u4−4u3=0
標準的な形式で書く anxn+…+a1x+a0=0u4−4u3−2u2+1=0
ニュートン・ラプソン法を使用して u4−4u3−2u2+1=0 の解を1つ求める:u≈0.51361…
u4−4u3−2u2+1=0
ニュートン・ラプソン概算の定義
f(u)=u4−4u3−2u2+1
発見する f′(u):4u3−12u2−4u
dud(u4−4u3−2u2+1)
和/差の法則を適用: (f±g)′=f′±g′=dud(u4)−dud(4u3)−dud(2u2)+dud(1)
dud(u4)=4u3
dud(u4)
乗の法則を適用: dxd(xa)=a⋅xa−1=4u4−1
簡素化=4u3
dud(4u3)=12u2
dud(4u3)
定数を除去: (a⋅f)′=a⋅f′=4dud(u3)
乗の法則を適用: dxd(xa)=a⋅xa−1=4⋅3u3−1
簡素化=12u2
dud(2u2)=4u
dud(2u2)
定数を除去: (a⋅f)′=a⋅f′=2dud(u2)
乗の法則を適用: dxd(xa)=a⋅xa−1=2⋅2u2−1
簡素化=4u
dud(1)=0
dud(1)
定数の導関数: dxd(a)=0=0
=4u3−12u2−4u+0
簡素化=4u3−12u2−4u
仮定: u0=1Δun+1<になるまで un+1を計算する 0.000001
u1=0.66666…:Δu1=0.33333…
f(u0)=14−4⋅13−2⋅12+1=−4f′(u0)=4⋅13−12⋅12−4⋅1=−12u1=0.66666…
Δu1=∣0.66666…−1∣=0.33333…Δu1=0.33333…
u2=0.53804…:Δu2=0.12862…
f(u1)=0.66666…4−4⋅0.66666…3−2⋅0.66666…2+1=−0.87654…f′(u1)=4⋅0.66666…3−12⋅0.66666…2−4⋅0.66666…=−6.81481…u2=0.53804…
Δu2=∣0.53804…−0.66666…∣=0.12862…Δu2=0.12862…
u3=0.51441…:Δu3=0.02362…
f(u2)=0.53804…4−4⋅0.53804…3−2⋅0.53804…2+1=−0.11821…f′(u2)=4⋅0.53804…3−12⋅0.53804…2−4⋅0.53804…=−5.00302…u3=0.51441…
Δu3=∣0.51441…−0.53804…∣=0.02362…Δu3=0.02362…
u4=0.51362…:Δu4=0.00079…
f(u3)=0.51441…4−4⋅0.51441…3−2⋅0.51441…2+1=−0.00372…f′(u3)=4⋅0.51441…3−12⋅0.51441…2−4⋅0.51441…=−4.68863…u4=0.51362…
Δu4=∣0.51362…−0.51441…∣=0.00079…Δu4=0.00079…
u5=0.51361…:Δu5=8.89103E−7
f(u4)=0.51362…4−4⋅0.51362…3−2⋅0.51362…2+1=−4.15938E−6f′(u4)=4⋅0.51362…3−12⋅0.51362…2−4⋅0.51362…=−4.67817…u5=0.51361…
Δu5=∣0.51361…−0.51362…∣=8.89103E−7Δu5=8.89103E−7
u≈0.51361…
長除法を適用する:u−0.51361…u4−4u3−2u2+1=u3−3.48638…u2−3.79067…u−1.94696…
u3−3.48638…u2−3.79067…u−1.94696…≈0
ニュートン・ラプソン法を使用して u3−3.48638…u2−3.79067…u−1.94696…=0 の解を1つ求める:u≈4.43910…
u3−3.48638…u2−3.79067…u−1.94696…=0
ニュートン・ラプソン概算の定義
f(u)=u3−3.48638…u2−3.79067…u−1.94696…
発見する f′(u):3u2−6.97276…u−3.79067…
dud(u3−3.48638…u2−3.79067…u−1.94696…)
和/差の法則を適用: (f±g)′=f′±g′=dud(u3)−dud(3.48638…u2)−dud(3.79067…u)−dud(1.94696…)
dud(u3)=3u2
dud(u3)
乗の法則を適用: dxd(xa)=a⋅xa−1=3u3−1
簡素化=3u2
dud(3.48638…u2)=6.97276…u
dud(3.48638…u2)
定数を除去: (a⋅f)′=a⋅f′=3.48638…dud(u2)
乗の法則を適用: dxd(xa)=a⋅xa−1=3.48638…⋅2u2−1
簡素化=6.97276…u
dud(3.79067…u)=3.79067…
dud(3.79067…u)
定数を除去: (a⋅f)′=a⋅f′=3.79067…dudu
共通の導関数を適用: dudu=1=3.79067…⋅1
簡素化=3.79067…
dud(1.94696…)=0
dud(1.94696…)
定数の導関数: dxd(a)=0=0
=3u2−6.97276…u−3.79067…−0
簡素化=3u2−6.97276…u−3.79067…
仮定: u0=4Δun+1<になるまで un+1を計算する 0.000001
u1=4.54489…:Δu1=0.54489…
f(u0)=43−3.48638…⋅42−3.79067…⋅4−1.94696…=−8.89174…f′(u0)=3⋅42−6.97276…⋅4−3.79067…=16.31828…u1=4.54489…
Δu1=∣4.54489…−4∣=0.54489…Δu1=0.54489…
u2=4.44335…:Δu2=0.10154…
f(u1)=4.54489…3−3.48638…⋅4.54489…2−3.79067…⋅4.54489…−1.94696…=2.68956…f′(u1)=3⋅4.54489…2−6.97276…⋅4.54489…−3.79067…=26.48706…u2=4.44335…
Δu2=∣4.44335…−4.54489…∣=0.10154…Δu2=0.10154…
u3=4.43911…:Δu3=0.00423…
f(u2)=4.44335…3−3.48638…⋅4.44335…2−3.79067…⋅4.44335…−1.94696…=0.10359…f′(u2)=3⋅4.44335…2−6.97276…⋅4.44335…−3.79067…=24.45702…u3=4.43911…
Δu3=∣4.43911…−4.44335…∣=0.00423…Δu3=0.00423…
u4=4.43910…:Δu4=7.24246E−6
f(u3)=4.43911…3−3.48638…⋅4.43911…2−3.79067…⋅4.43911…−1.94696…=0.00017…f′(u3)=3⋅4.43911…2−6.97276…⋅4.43911…−3.79067…=24.37369…u4=4.43910…
Δu4=∣4.43910…−4.43911…∣=7.24246E−6Δu4=7.24246E−6
u5=4.43910…:Δu5=2.11568E−11
f(u4)=4.43910…3−3.48638…⋅4.43910…2−3.79067…⋅4.43910…−1.94696…=5.15667E−10f′(u4)=3⋅4.43910…2−6.97276…⋅4.43910…−3.79067…=24.37355…u5=4.43910…
Δu5=∣4.43910…−4.43910…∣=2.11568E−11Δu5=2.11568E−11
u≈4.43910…
長除法を適用する:u−4.43910…u3−3.48638…u2−3.79067…u−1.94696…=u2+0.95272…u+0.43859…
u2+0.95272…u+0.43859…≈0
ニュートン・ラプソン法を使用して u2+0.95272…u+0.43859…=0 の解を1つ求める:以下の解はない: u∈R
u2+0.95272…u+0.43859…=0
ニュートン・ラプソン概算の定義
f(u)=u2+0.95272…u+0.43859…
発見する f′(u):2u+0.95272…
dud(u2+0.95272…u+0.43859…)
和/差の法則を適用: (f±g)′=f′±g′=dud(u2)+dud(0.95272…u)+dud(0.43859…)
dud(u2)=2u
dud(u2)
乗の法則を適用: dxd(xa)=a⋅xa−1=2u2−1
簡素化=2u
dud(0.95272…u)=0.95272…
dud(0.95272…u)
定数を除去: (a⋅f)′=a⋅f′=0.95272…dudu
共通の導関数を適用: dudu=1=0.95272…⋅1
簡素化=0.95272…
dud(0.43859…)=0
dud(0.43859…)
定数の導関数: dxd(a)=0=0
=2u+0.95272…+0
簡素化=2u+0.95272…
仮定: u0=0Δun+1<になるまで un+1を計算する 0.000001
u1=−0.46035…:Δu1=0.46035…
f(u0)=02+0.95272…⋅0+0.43859…=0.43859…f′(u0)=2⋅0+0.95272…=0.95272…u1=−0.46035…
Δu1=∣−0.46035…−0∣=0.46035…Δu1=0.46035…
u2=−7.07923…:Δu2=6.61887…
f(u1)=(−0.46035…)2+0.95272…(−0.46035…)+0.43859…=0.21192…f′(u1)=2(−0.46035…)+0.95272…=0.03201…u2=−7.07923…
Δu2=∣−7.07923…−(−0.46035…)∣=6.61887…Δu2=6.61887…
u3=−3.76176…:Δu3=3.31746…
f(u2)=(−7.07923…)2+0.95272…(−7.07923…)+0.43859…=43.80952…f′(u2)=2(−7.07923…)+0.95272…=−13.20573…u3=−3.76176…
Δu3=∣−3.76176…−(−7.07923…)∣=3.31746…Δu3=3.31746…
u4=−2.08685…:Δu4=1.67491…
f(u3)=(−3.76176…)2+0.95272…(−3.76176…)+0.43859…=11.00555…f′(u3)=2(−3.76176…)+0.95272…=−6.57081…u4=−2.08685…
Δu4=∣−2.08685…−(−3.76176…)∣=1.67491…Δu4=1.67491…
u5=−1.21589…:Δu5=0.87096…
f(u4)=(−2.08685…)2+0.95272…(−2.08685…)+0.43859…=2.80534…f′(u4)=2(−2.08685…)+0.95272…=−3.22097…u5=−1.21589…
Δu5=∣−1.21589…−(−2.08685…)∣=0.87096…Δu5=0.87096…
u6=−0.70301…:Δu6=0.51287…
f(u5)=(−1.21589…)2+0.95272…(−1.21589…)+0.43859…=0.75857…f′(u5)=2(−1.21589…)+0.95272…=−1.47905…u6=−0.70301…
Δu6=∣−0.70301…−(−1.21589…)∣=0.51287…Δu6=0.51287…
u7=−0.12274…:Δu7=0.58027…
f(u6)=(−0.70301…)2+0.95272…(−0.70301…)+0.43859…=0.26304…f′(u6)=2(−0.70301…)+0.95272…=−0.45330…u7=−0.12274…
Δu7=∣−0.12274…−(−0.70301…)∣=0.58027…Δu7=0.58027…
u8=−0.59883…:Δu8=0.47609…
f(u7)=(−0.12274…)2+0.95272…(−0.12274…)+0.43859…=0.33672…f′(u7)=2(−0.12274…)+0.95272…=0.70724…u8=−0.59883…
Δu8=∣−0.59883…−(−0.12274…)∣=0.47609…Δu8=0.47609…
u9=0.32653…:Δu9=0.92537…
f(u8)=(−0.59883…)2+0.95272…(−0.59883…)+0.43859…=0.22667…f′(u8)=2(−0.59883…)+0.95272…=−0.24495…u9=0.32653…
Δu9=∣0.32653…−(−0.59883…)∣=0.92537…Δu9=0.92537…
u10=−0.20673…:Δu10=0.53326…
f(u9)=0.32653…2+0.95272…⋅0.32653…+0.43859…=0.85631…f′(u9)=2⋅0.32653…+0.95272…=1.60579…u10=−0.20673…
Δu10=∣−0.20673…−0.32653…∣=0.53326…Δu10=0.53326…
u11=−0.73406…:Δu11=0.52733…
f(u10)=(−0.20673…)2+0.95272…(−0.20673…)+0.43859…=0.28437…f′(u10)=2(−0.20673…)+0.95272…=0.53926…u11=−0.73406…
Δu11=∣−0.73406…−(−0.20673…)∣=0.52733…Δu11=0.52733…
u12=−0.19452…:Δu12=0.53954…
f(u11)=(−0.73406…)2+0.95272…(−0.73406…)+0.43859…=0.27807…f′(u11)=2(−0.73406…)+0.95272…=−0.51539…u12=−0.19452…
Δu12=∣−0.19452…−(−0.73406…)∣=0.53954…Δu12=0.53954…
解を見つけられない
解答はu≈0.51361…,u≈4.43910…
u≈0.51361…,u≈4.43910…
解を検算する
未定義の (特異) 点を求める:u=0
4u2(1−u2)2−u の分母をゼロに比較する
解く 4u2=0:u=0
4u2=0
以下で両辺を割る4
4u2=0
以下で両辺を割る4
4u2=0
以下で両辺を割る444u2=40
簡素化u2=0
u2=0
規則を適用 xn=0⇒x=0
u=0
以下の点は定義されていないu=0
未定義のポイントを解に組み合わせる:
u≈0.51361…,u≈4.43910…
代用を戻す u=tan(u)tan(u)≈0.51361…,tan(u)≈4.43910…
tan(u)≈0.51361…,tan(u)≈4.43910…
tan(u)=0.51361…:u=arctan(0.51361…)+πn
tan(u)=0.51361…
三角関数の逆数プロパティを適用する
tan(u)=0.51361…
以下の一般解 tan(u)=0.51361…tan(x)=a⇒x=arctan(a)+πnu=arctan(0.51361…)+πn
u=arctan(0.51361…)+πn
tan(u)=4.43910…:u=arctan(4.43910…)+πn
tan(u)=4.43910…
三角関数の逆数プロパティを適用する
tan(u)=4.43910…
以下の一般解 tan(u)=4.43910…tan(x)=a⇒x=arctan(a)+πnu=arctan(4.43910…)+πn
u=arctan(4.43910…)+πn
すべての解を組み合わせるu=arctan(0.51361…)+πn,u=arctan(4.43910…)+πn
代用を戻す u=2x
2x=arctan(0.51361…)+πn:x=2arctan(0.51361…)+2πn
2x=arctan(0.51361…)+πn
以下で両辺を乗じる:2
2x=arctan(0.51361…)+πn
以下で両辺を乗じる:222x=2arctan(0.51361…)+2πn
簡素化x=2arctan(0.51361…)+2πn
x=2arctan(0.51361…)+2πn
2x=arctan(4.43910…)+πn:x=2arctan(4.43910…)+2πn
2x=arctan(4.43910…)+πn
以下で両辺を乗じる:2
2x=arctan(4.43910…)+πn
以下で両辺を乗じる:222x=2arctan(4.43910…)+2πn
簡素化x=2arctan(4.43910…)+2πn
x=2arctan(4.43910…)+2πn
x=2arctan(0.51361…)+2πn,x=2arctan(4.43910…)+2πn
10進法形式で解を証明するx=2⋅0.47448…+2πn,x=2⋅1.34922…+2πn