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1-sinh^2(x)=0

解答

1 - sinh^{2} (x) = 0

解答

x = ln (- 1 + 2), x = ln (1 + 2)

+1

度数

x = - 50.49898 \dots^{\circ}, x = 50.49898 \dots^{\circ}

求解步骤

1 - sinh^{2} (x) = 0

使用三角恒等式改写

1 - sinh^{2} (x) = 0

使用双曲函数恒等式:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

1 - (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 0

1 - (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 0

1 - (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 0 : x = ln (- 1 + 2), x = ln (1 + 2)

1 - (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} = 0

分解

1 - (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} : - (\frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} + 1) (\frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} - 1)

1 - (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2}

因式分解出通项

- 1

= - ((\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} - 1)

分解

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} - 1 : (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + 1) (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - 1)

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} - 1

将

1

改写为

1^{2}

= (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} - 1^{2}

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2})^{2} - 1^{2} = (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + 1) (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - 1)

= ((\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}) + 1) ((\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}) - 1)

= - ((\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}) + 1) ((\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}) - 1)

整理后得

= - (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} + 1) (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - 1)

分解

e^{x} - e^{- x} : e^{- x} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1)

e^{x} - e^{- x}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

e^{x} = e^{- x} e^{2 x}

= e^{- x} e^{2 x} - e^{- x}

因式分解出通项

e^{- x}

= e^{- x} (e^{2 x} - 1)

分解

e^{2 x} - 1 : (e^{x} + 1) (e^{x} - 1)

e^{2 x} - 1

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}

= (e^{x})^{2} - 1

将

1

改写为

1^{2}

= (e^{x})^{2} - 1^{2}

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(e^{x})^{2} - 1^{2} = (e^{x} + 1) (e^{x} - 1)

= (e^{x} + 1) (e^{x} - 1)

= e^{- x} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1)

= - (\frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} + 1) (\frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} - 1)

分解

e^{x} - e^{- x} : e^{- x} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1)

e^{x} - e^{- x}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

e^{x} = e^{- x} e^{2 x}

= e^{- x} e^{2 x} - e^{- x}

因式分解出通项

e^{- x}

= e^{- x} (e^{2 x} - 1)

分解

e^{2 x} - 1 : (e^{x} + 1) (e^{x} - 1)

e^{2 x} - 1

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}

= (e^{x})^{2} - 1

将

1

改写为

1^{2}

= (e^{x})^{2} - 1^{2}

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(e^{x})^{2} - 1^{2} = (e^{x} + 1) (e^{x} - 1)

= (e^{x} + 1) (e^{x} - 1)

= e^{- x} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1)

= - (\frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} + 1) (\frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} - 1)

- (\frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} + 1) (\frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} - 1) = 0

使用零因数法则： If

ab = 0

then

a = 0

or

b = 0

\frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} + 1 = 0 or \frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} - 1 = 0

解

\frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} + 1 = 0 : x = ln (- 1 + 2)

\frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} + 1 = 0

在两边乘以

2

\frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} \cdot 2 + 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2

化简

e^{- x} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1) + 2 = 0

两边减去

2

e^{- x} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1) + 2 - 2 = 0 - 2

化简

e^{- x} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1) = - 2

使用指数运算法则

e^{- x} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1) = - 2

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x})^{- 1} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1) = - 2

(e^{x})^{- 1} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1) = - 2

用

e^{x} = u

改写方程式

(u)^{- 1} (u + 1) (u - 1) = - 2

解

u^{- 1} (u + 1) (u - 1) = - 2 : u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

u^{- 1} (u + 1) (u - 1) = - 2

整理后得

\frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u} = - 2

在两边乘以

u

\frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u} = - 2

在两边乘以

u

\frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u} u = - 2 u

化简

(u + 1) (u - 1) = - 2 u

(u + 1) (u - 1) = - 2 u

解

(u + 1) (u - 1) = - 2 u : u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

(u + 1) (u - 1) = - 2 u

展开

(u + 1) (u - 1) : u^{2} - 1

(u + 1) (u - 1)

使用平方差公式:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = u, b = 1

= u^{2} - 1^{2}

使用法则

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= u^{2} - 1

u^{2} - 1 = - 2 u

将

2 u

para o lado esquerdo

u^{2} - 1 = - 2 u

两边加上

2 u

u^{2} - 1 + 2 u = - 2 u + 2 u

化简

u^{2} - 1 + 2 u = 0

u^{2} - 1 + 2 u = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} + 2 u - 1 = 0

使用求根公式求解

u^{2} + 2 u - 1 = 0

二次方程求根公式:

若

a = 1, b = 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

使用法则

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

数字相乘:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

数字相加:

4 + 4 = 8

= 8

8

质因数分解:

2^{3}

8

8

除以

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

除以

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

使用根式运算法则:

= 2 2^{2}

使用根式运算法则:

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 2}{2 \cdot 1}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1} : - 1 + 2

\frac{- 2 + 2 2}{2 \cdot 1}

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 + 2 2}{2}

分解

- 2 + 22 : 2 (- 1 + 2)

- 2 + 22

改写为

= - 2 \cdot 1 + 22

因式分解出通项

2

= 2 (- 1 + 2)

= \frac{2 ( - 1 + 2 )}{2}

数字相除:

\frac{2}{2} = 1

= - 1 + 2

u = \frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1} : - 1 - 2

\frac{- 2 - 2 2}{2 \cdot 1}

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 - 2 2}{2}

分解

- 2 - 22 : - 2 (1 + 2)

- 2 - 22

改写为

= - 2 \cdot 1 - 22

因式分解出通项

2

= - 2 (1 + 2)

= - \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

数字相除:

\frac{2}{2} = 1

= - (1 + 2)

取负

- (1 + 2) = - 1 - 2

= - 1 - 2

二次方程组的解是:

u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

验证解

找到无定义的点（奇点）:

u = 0

取

u^{- 1} (u + 1) (u - 1)

的分母，令其等于零

u = 0

以下点无定义

u = 0

将不在定义域的点与解相综合:

u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

u = - 1 + 2, u = - 1 - 2

代回

u = e^{x}

，求解

x

解

e^{x} = - 1 + 2 : x = ln (- 1 + 2)

e^{x} = - 1 + 2

使用指数运算法则

e^{x} = - 1 + 2

若

f (x) = g (x)

，则

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (- 1 + 2)

使用对数计算法则:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (- 1 + 2)

x = ln (- 1 + 2)

解

e^{x} = - 1 - 2 : x \in R

无解

e^{x} = - 1 - 2

a^{f (x)}

对于

x

不能为零或负值

\in R

x \in R 无解

x = ln (- 1 + 2)

解

\frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} - 1 = 0 : x = ln (1 + 2)

\frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} - 1 = 0

在两边乘以

2

\frac{e ^{- x} ( e ^{x} + 1 ) ( e ^{x} - 1 )}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2

化简

e^{- x} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1) - 2 = 0

两边加上

2

e^{- x} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1) - 2 + 2 = 0 + 2

化简

e^{- x} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1) = 2

使用指数运算法则

e^{- x} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1) = 2

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x})^{- 1} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1) = 2

(e^{x})^{- 1} (e^{x} + 1) (e^{x} - 1) = 2

用

e^{x} = u

改写方程式

(u)^{- 1} (u + 1) (u - 1) = 2

解

u^{- 1} (u + 1) (u - 1) = 2 : u = 1 + 2, u = 1 - 2

u^{- 1} (u + 1) (u - 1) = 2

整理后得

\frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u} = 2

在两边乘以

u

\frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u} = 2

在两边乘以

u

\frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u} u = 2 u

化简

(u + 1) (u - 1) = 2 u

(u + 1) (u - 1) = 2 u

解

(u + 1) (u - 1) = 2 u : u = 1 + 2, u = 1 - 2

(u + 1) (u - 1) = 2 u

展开

(u + 1) (u - 1) : u^{2} - 1

(u + 1) (u - 1)

使用平方差公式:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = u, b = 1

= u^{2} - 1^{2}

使用法则

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= u^{2} - 1

u^{2} - 1 = 2 u

将

2 u

para o lado esquerdo

u^{2} - 1 = 2 u

两边减去

2 u

u^{2} - 1 - 2 u = 2 u - 2 u

化简

u^{2} - 1 - 2 u = 0

u^{2} - 1 - 2 u = 0

改写成标准形式

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 2 u - 1 = 0

使用求根公式求解

u^{2} - 2 u - 1 = 0

二次方程求根公式:

若

a = 1, b = - 2, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot ( - 1 )}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 22

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)

使用法则

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

使用指数法则:

(- a)^{n} = a^{n},

若

n

是偶数

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

数字相乘:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

数字相加:

4 + 4 = 8

= 8

8

质因数分解:

2^{3}

8

8

除以

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

除以

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

使用根式运算法则:

= 2 2^{2}

使用根式运算法则:

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 \cdot 1}

将解分隔开

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1} : 1 + 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 \cdot 1}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{2 \cdot 1}

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{2}

分解

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

改写为

= 2 \cdot 1 + 22

因式分解出通项

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

数字相除:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1} : 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 \cdot 1}

使用法则

- (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{2 \cdot 1}

数字相乘:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{2}

分解

2 - 22 : 2 (1 - 2)

2 - 22

改写为

= 2 \cdot 1 - 22

因式分解出通项

2

= 2 (1 - 2)

= \frac{2 ( 1 - 2 )}{2}

数字相除:

\frac{2}{2} = 1

= 1 - 2

二次方程组的解是:

u = 1 + 2, u = 1 - 2

u = 1 + 2, u = 1 - 2

验证解

找到无定义的点（奇点）:

u = 0

取

u^{- 1} (u + 1) (u - 1)

的分母，令其等于零

u = 0

以下点无定义

u = 0

将不在定义域的点与解相综合:

u = 1 + 2, u = 1 - 2

u = 1 + 2, u = 1 - 2

代回

u = e^{x}

，求解

x

解

e^{x} = 1 + 2 : x = ln (1 + 2)

e^{x} = 1 + 2

使用指数运算法则

e^{x} = 1 + 2

若

f (x) = g (x)

，则

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1 + 2)

使用对数计算法则:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1 + 2)

x = ln (1 + 2)

解

e^{x} = 1 - 2 : x \in R

无解

e^{x} = 1 - 2

a^{f (x)}

对于

x

不能为零或负值

\in R

x \in R 无解

x = ln (1 + 2)

解为

x = ln (- 1 + 2), x = ln (1 + 2)

x = ln (- 1 + 2), x = ln (1 + 2)

流行的例子

sin(y+10)=cos(y+20)

sin (y + 1 0^{\circ}) = cos (y + 2 0^{\circ})

tan (x) = - 1, 7

tan(θ)(3cos^2(θ)-sin^2(θ))=0

tan (θ) (3 cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)) = 0

sin^3(x)=cos^2(x)

sin^{3} (x) = cos^{2} (x)

sin(θ)=2cos(θ)

sin (θ) = 2 cos (θ)