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Popular Trigonometria >

4sin^3(x)-8sin^2(x)+sin(x)+3=0

Solução

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

Solução

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Graus

x = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

Usando o método de substituição

4 sin^{3} (x) - 8 sin^{2} (x) + sin (x) + 3 = 0

Sea:

sin (x) = u

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 = 0

Fatorar

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3 : (u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

Utilizar o teorema das raízes racionais

a_{0} = 3, a_{n} = 4

Os divisores de

a_{0} : 1, 3,

Os divisores de

a_{n} : 1, 2, 4

Portanto, verificar os seguintes números racionais:

\pm \frac{1 , 3}{1 , 2 , 4}

\frac{1}{1}

é a raiz da expressão, portanto, fatorar

u - 1

= (u - 1) \frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} - 4 u - 3

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

Dividir

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} : \frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

e o divisor

u - 1 : \frac{4 u ^{3}}{u} = 4 u^{2}

Quociente = 4 u^{2}

Multiplicar

u - 1

por

4 u^{2} : 4 u^{3} - 4 u^{2}

Subtrair

4 u^{3} - 4 u^{2}

4 u^{3} - 8 u^{2} + u + 3

para obter um novo resto

Resto = - 4 u^{2} + u + 3

Portanto

\frac{4 u ^{3} - 8 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

= 4 u^{2} + \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1}

Dividir

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} : \frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

- 4 u^{2} + u + 3

e o divisor

u - 1 : \frac{- 4 u ^{2}}{u} = - 4 u

Quociente = - 4 u

Multiplicar

u - 1

por

- 4 u : - 4 u^{2} + 4 u

Subtrair

- 4 u^{2} + 4 u

- 4 u^{2} + u + 3

para obter um novo resto

Resto = - 3 u + 3

Portanto

\frac{- 4 u ^{2} + u + 3}{u - 1} = - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

= 4 u^{2} - 4 u + \frac{- 3 u + 3}{u - 1}

Dividir

\frac{- 3 u + 3}{u - 1} : \frac{- 3 u + 3}{u - 1} = - 3

Dividir os coeficientes dos termos de maior grau do numerador

- 3 u + 3

e o divisor

u - 1 : \frac{- 3 u}{u} = - 3

Quociente = - 3

Multiplicar

u - 1

por

- 3 : - 3 u + 3

Subtrair

- 3 u + 3

- 3 u + 3

para obter um novo resto

Resto = 0

Portanto

\frac{- 3 u + 3}{u - 1} = - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

= 4 u^{2} - 4 u - 3

Fatorar

4 u^{2} - 4 u - 3 : (2 u + 1) (2 u - 3)

4 u^{2} - 4 u - 3

Fatorar a expressão

4 u^{2} - 4 u - 3

Definição

Fatores de

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

12

Divisores (fatores)

Encontre os fatores primos de

12 : 2, 2, 3

12

12

dividida por

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

dividida por

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Multiplique os fatores primos de

12 : 4, 6

2 \cdot 2 = 4

2 \cdot 3 = 6

4, 6

4, 6

Adicione os fatores primos:

2, 3

Adicione 1 e o próprio número

12

1, 12

Divisores de

12

1, 2, 3, 4, 6, 12

Fatores negativos de

12 : - 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Multiplicar os números por

- 1

para obter divisores negativos

- 1, - 2, - 3, - 4, - 6, - 12

Para cada dois fatores tais que

u * v = - 12,

verifique se

u + v = - 4

Verifique

u = 1, v = - 12 : u * v = - 12, u + v = - 11 \Rightarrow

FalsoVerifique

u = 2, v = - 6 : u * v = - 12, u + v = - 4 \Rightarrow

Verdadeiro

u = 2, v = - 6

Agrupe em

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

= (4 u^{2} + 2 u) + (- 6 u - 3)

Fatorar

2 u

4 u^{2} + 2 u

2 u (2 u + 1)

4 u^{2} + 2 u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 4 uu + 2 u

Reescrever

4

como

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 uu + 2 u

Fatorar o termo comum

2 u

= 2 u (2 u + 1)

Fatorar

- 3

- 6 u - 3

- 3 (2 u + 1)

- 6 u - 3

Reescrever

6

como

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u - 3

Fatorar o termo comum

- 3

= - 3 (2 u + 1)

= 2 u (2 u + 1) - 3 (2 u + 1)

Fatorar o termo comum

2 u + 1

= (2 u + 1) (2 u - 3)

= (u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3)

(u - 1) (2 u + 1) (2 u - 3) = 0

Usando o princípio do fator zero: Se

ab = 0

então

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or 2 u + 1 = 0 or 2 u - 3 = 0

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Resolver

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

2 u + 1 = 0

Subtrair

1

de ambos os lados

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplificar

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividir ambos os lados por

2

2 u = - 1

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Simplificar

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

Resolver

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Mova

3

para o lado direito

2 u - 3 = 0

Adicionar

3

a ambos os lados

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Simplificar

2 u = 3

2 u = 3

Dividir ambos os lados por

2

2 u = 3

Dividir ambos os lados por

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Simplificar

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

As soluções são

u = 1, u = - \frac{1}{2}, u = \frac{3}{2}

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 1, sin (x) = - \frac{1}{2}, sin (x) = \frac{3}{2}

sin (x) = 1 : x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = 1

Soluções gerais para

sin (x) = 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2} : x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = - \frac{1}{2}

Soluções gerais para

sin (x) = - \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (x) = \frac{3}{2} :

Sem solução

sin (x) = \frac{3}{2}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{7 π}{6} + 2 πn, x = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

sin(x)=0.71

sin (x) = 0.71

sin(2x)+2sin(x)-cos(x)-1=0

sin (2 x) + 2 sin (x) - cos (x) - 1 = 0

cos(2x)=-0.4,-180<= x<= 180

cos (2 x) = - 0.4, - 18 0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}

cos(x)=(-4)/(8/3 sqrt(3))

cos (x) = \frac{- 4}{\frac{8}{3} 3}

-2tan(x)+6=8

- 2 tan (x) + 6 = 8