English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

tan^2(x)+tan(x)+cot(x)+cot^2(x)=4

פתרון

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) = 4

פתרון

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.93566 \dots + πn, x = 2.77672 \dots + πn

מעלות

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 110.90515 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 159.09484 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

צעדי פתרון

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) = 4

משני האגפים

4

החסר

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) - 4 = 0

Rewrite using trig identities

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + tan (x) + tan^{2} (x)

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

= - 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ( x )} + (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{2}}{cot ^{2} ( x )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

= - 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ( x )} + \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + \frac{1}{cot ( x )} = 0

בעזרת שיטת ההצבה

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + \frac{1}{cot ( x )} = 0

cot (x) = u :

נניח ש

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0 : u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

הכפל בכפולה המשותפת המינימלית

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

Find Least Common Multiplier of

u^{2}, u : u^{2}

u^{2}, u

Lowest Common Multiplier (LCM)

Compute an expression comprised of factors that appear either in

u^{2}

u

= u^{2}

u^{2} =

הכפל בכפולה המשותפת המינימלית

- 4 u^{2} + u u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

פשט

- 4 u^{2} + u u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

u u^{2}

פשט את:

u^{3}

u u^{2}

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

u u^{2} = u^{1 + 2}

= u^{1 + 2}

1 + 2 = 3 :

חבר את המספרים

= u^{3}

u^{2} u^{2}

פשט את:

u^{4}

u^{2} u^{2}

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

:הפעל את חוק החזקות

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

2 + 2 = 4 :

חבר את המספרים

= u^{4}

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

פשט את:

1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

u^{2} :

בטל את הגורמים המשותפים

= 1

\frac{1}{u} u^{2}

פשט את:

u

\frac{1}{u} u^{2}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u}

1 \cdot u^{2} = u^{2} :

הכפל

= \frac{u ^{2}}{u}

u :

בטל את הגורמים המשותפים

= u

0 \cdot u^{2}

פשט את:

0

0 \cdot u^{2}

0 \cdot a = 0

הפעל את החוק

= 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

פתור את:

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

כתוב בצורה הסטנדרטית

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 = 0

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

פרק לגורמים את:

(u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1)

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

השתמש במשפט השורש הרציונלי

u - 1

הוא שורש של הביטוי, אז הוצא החוצה את

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

לכן, בדוק את המספרים הרציונלים הבאים

a_{n} : 1

המחלקים של

a_{0} : 1,

המחלקים של

a_{0} = 1, a_{n} = 1

= (u - 1) \frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

חלק את:

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

חלק את המקדם המוביל של המונה

\frac{u ^{4}}{u} = u^{3} : u - 1

והמכנה

Quotient = u^{3}

u^{4} - u^{3} : u^{3}

u - 1

הכפל את על מנת לקבל שארית חדשה

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

u^{4} - u^{3}

החסר

שארית = 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

לכן

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

חלק את:

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

חלק את המקדם המוביל של המונה

\frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2} : u - 1

והמכנה

Quotient = 2 u^{2}

2 u^{3} - 2 u^{2} : 2 u^{2}

u - 1

הכפל את על מנת לקבל שארית חדשה

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

2 u^{3} - 2 u^{2}

החסר

שארית = - 2 u^{2} + u + 1

לכן

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= u^{3} + 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

חלק את:

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

- 2 u^{2} + u + 1

חלק את המקדם המוביל של המונה

\frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u : u - 1

והמכנה

Quotient = - 2 u

- 2 u^{2} + 2 u : - 2 u

u - 1

הכפל את על מנת לקבל שארית חדשה

- 2 u^{2} + u + 1

- 2 u^{2} + 2 u

החסר

שארית = - u + 1

לכן

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

\frac{- u + 1}{u - 1}

חלק את:

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

- u + 1

חלק את המקדם המוביל של המונה

\frac{- u}{u} = - 1 : u - 1

והמכנה

Quotient = - 1

- u + 1 : - 1

u - 1

הכפל את על מנת לקבל שארית חדשה

- u + 1

- u + 1

החסר

שארית = 0

לכן

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

פרק לגורמים את:

(u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

השתמש במשפט השורש הרציונלי

u - 1

הוא שורש של הביטוי, אז הוצא החוצה את

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

לכן, בדוק את המספרים הרציונלים הבאים

a_{n} : 1

המחלקים של

a_{0} : 1,

המחלקים של

a_{0} = 1, a_{n} = 1

= (u - 1) \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + 3 u + 1

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

חלק את:

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

חלק את המקדם המוביל של המונה

\frac{u ^{3}}{u} = u^{2} : u - 1

והמכנה

Quotient = u^{2}

u^{3} - u^{2} : u^{2}

u - 1

הכפל את על מנת לקבל שארית חדשה

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

u^{3} - u^{2}

החסר

שארית = 3 u^{2} - 2 u - 1

לכן

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

= u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

חלק את:

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

3 u^{2} - 2 u - 1

חלק את המקדם המוביל של המונה

\frac{3 u ^{2}}{u} = 3 u : u - 1

והמכנה

Quotient = 3 u

3 u^{2} - 3 u : 3 u

u - 1

הכפל את על מנת לקבל שארית חדשה

3 u^{2} - 2 u - 1

3 u^{2} - 3 u

החסר

שארית = u - 1

לכן

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= u^{2} + 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

\frac{u - 1}{u - 1}

חלק את:

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

u - 1

חלק את המקדם המוביל של המונה

\frac{u}{u} = 1 : u - 1

והמכנה

Quotient = 1

u - 1 : 1

u - 1

הכפל את על מנת לקבל שארית חדשה

u - 1

u - 1

החסר

שארית = 0

לכן

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= u^{2} + 3 u + 1

= u^{2} + 3 u + 1

= (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

= (u - 1) (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

פשט

= (u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1)

(u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1) = 0

פתור על ידי השוואת הגורמים לאפס

u - 1 = 0 or u^{2} + 3 u + 1 = 0

u - 1 = 0

פתור את:

u = 1

u - 1 = 0

לצד ימין

1

העבר

u - 1 = 0

לשני האגפים

1

הוסף

u - 1 + 1 = 0 + 1

פשט

u = 1

u = 1

u^{2} + 3 u + 1 = 0

פתור את:

u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u^{2} + 3 u + 1 = 0

פתור בעזרת הנוסחה הריבועית

u^{2} + 3 u + 1 = 0

הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית

a = 1, b = 3, c = 1

עבור

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 :

הכפל את המספרים

= 3^{2} - 4

3^{2} = 9

= 9 - 4

9 - 4 = 5 :

חסר את המספרים

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 1}

Separate the solutions

u_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 + 5}{2}

\frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

הכפל את המספרים

= \frac{- 3 + 5}{2}

u = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 - 5}{2}

\frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1}

2 \cdot 1 = 2 :

הכפל את המספרים

= \frac{- 3 - 5}{2}

הפתרונות למשוואה הריבועית הם

u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

The solutions are

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

בדוק פתרונות

מצא נקודות לא מוגדרות:

u = 0

והשווה אותם לאפס

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u}

קח את המכנים של

u^{2} = 0

פתור את:

u = 0

u^{2} = 0

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

הפעל את החוק

u = 0

u = 0

הנקודות הבאות לא מוגדרות

u = 0

חבר את הנקודות הלא מוגדרות עם הפתרונות

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u = cot (x)

החלף בחזרה

cot (x) = 1, cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}, cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = 1, cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}, cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = 1

cot (x) = 1 :

פתרונות כלליים עבור

cot (x)

periodicity table with

πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cot (x) \mp \infty 31 \frac{3}{3} 0 - \frac{3}{3} - 1 - 3

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2} : x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

Apply trig inverse properties

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2} :

פתרונות כלליים עבור

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2} : x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

Apply trig inverse properties

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2} :

פתרונות כלליים עבור

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

אחד את הפתרונות

x = \frac{π}{4} + πn, x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn, x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

הראה פיתרון ביצוג עשרוני

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.93566 \dots + πn, x = 2.77672 \dots + πn

גרף

דוגמאות פופולריות

tan(a)=0

tan (a) = 0

cos^2(x)+3|cos(x)|-1=0

cos^{2} (x) + 3 ∣ cos (x) ∣ - 1 = 0

cos^5(x)=sin(75)

cos^{5} (x) = sin (7 5^{\circ})

csc^2(x)=sec(x)

csc^{2} (x) = sec (x)

(2cos(x)-sin^2(x))=1+cos^2(x)

(2 cos (x) - sin^{2} (x)) = 1 + cos^{2} (x)