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cos^4(x)-2cos^2(x)+1=0

Soluzione

cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) + 1 = 0

Soluzione

x = 2 πn, x = π + 2 πn

+1

Gradi

x = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) + 1 = 0

Risolvi per sostituzione

cos^{4} (x) - 2 cos^{2} (x) + 1 = 0

Sia:

cos (x) = u

u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 0

u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 0 : u = 1, u = - 1

u^{4} - 2 u^{2} + 1 = 0

Riscrivi l'equazione con

v = u^{2}

e

v^{2} = u^{4}

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Risolvi

v^{2} - 2 v + 1 = 0 : v = 1

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

v^{2} - 2 v + 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 1, b = - 2, c = 1

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0

(- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

se

n

è pari

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} - 4

2^{2} = 4

= 4 - 4

Sottrai i numeri:

4 - 4 = 0

= 0

v_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 0}{2 \cdot 1}

v = \frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1}

\frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1} = 1

\frac{- ( - 2 )}{2 \cdot 1}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{2}{2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{a} = 1

= 1

v = 1

La soluzione dell'equazione quadratica è:

v = 1

v = 1

Sostituisci

v = u^{2},

risolvi per

u

Risolvi

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Applicare la regola

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Applicare la regola

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

Le soluzioni sono

u = 1, u = - 1

Sostituire indietro

u = cos (x)

cos (x) = 1, cos (x) = - 1

cos (x) = 1, cos (x) = - 1

cos (x) = 1 : x = 2 πn

cos (x) = 1

Soluzioni generali per

cos (x) = 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Soluzioni generali per

cos (x) = - 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Esempi popolari

sin^2(x)+cos^2(x)+cos(x)=2

sin^{2} (x) + cos^{2} (x) + cos (x) = 2

(sin^3(x))/(sin(x))=0

\frac{sin ^{3} ( x )}{sin ( x )} = 0

sin(135-x)=sin(x)

sin (135 - x) = sin (x)

tan (x) - 4 = - 1

4cos^2(x)-8cos(x)+3=0

4 cos^{2} (x) - 8 cos (x) + 3 = 0