テイラー 1/(x(x+1))

解

テイラー

\frac{1}{x ( x + 1 )}

\frac{1}{2} - \frac{3}{4} (x - 1) + \frac{7}{8} (x - 1)^{2} - \frac{15}{16} (x - 1)^{3} + \frac{31}{32} (x - 1)^{4} + \dots

解答ステップ

テイラーの公式を適用する

= \frac{1}{2} + \frac{\frac{d}{d x} ( \frac{1}{x ( x + 1 )} ) ( 1 )}{1 !} (x - 1) + \frac{\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} ( \frac{1}{x ( x + 1 )} ) ( 1 )}{2 !} (x - 1)^{2} + \frac{\frac{d ^{3}}{d x ^{3}} ( \frac{1}{x ( x + 1 )} ) ( 1 )}{3 !} (x - 1)^{3} + \dots

導関数を評価する

= \frac{1}{2} + \frac{- \frac{3}{4}}{1 !} (x - 1) + \frac{\frac{7}{4}}{2 !} (x - 1)^{2} + \frac{- \frac{45}{8}}{3 !} (x - 1)^{3} + \frac{\frac{93}{4}}{4 !} (x - 1)^{4} + \dots

改良

= \frac{1}{2} - \frac{3}{4} (x - 1) + \frac{7}{8} (x - 1)^{2} - \frac{15}{16} (x - 1)^{3} + \frac{31}{32} (x - 1)^{4} + \dots