integral of e^{-x}sin(nx)

해법

\int e^{- x} sin (n x) d x

- \frac{n e ^{- x} cos ( n x )}{n ^{2} + 1} - \frac{e ^{- x} sin ( n x )}{n ^{2} + 1} + C

솔루션 단계

\int e^{- x} sin (n x) d x

부품별 통합 적용

: - e^{- x} \frac{1}{n} cos (n x) - \int e^{- x} \frac{1}{n} cos (n x) d x

= - e^{- x} \frac{1}{n} cos (n x) - \int e^{- x} \frac{1}{n} cos (n x) d x

정수를 빼라:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- x} \frac{1}{n} cos (n x) - \frac{1}{n} \cdot \int e^{- x} cos (n x) d x

부품별 통합 적용

: e^{- x} \frac{1}{n} sin (n x) - \int - e^{- x} \frac{1}{n} sin (n x) d x

= - e^{- x} \frac{1}{n} cos (n x) - \frac{1}{n} (e^{- x} \frac{1}{n} sin (n x) - \int - e^{- x} \frac{1}{n} sin (n x) d x)

정수를 빼라:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{- x} \frac{1}{n} cos (n x) - \frac{1}{n} (e^{- x} \frac{1}{n} sin (n x) - (- \frac{1}{n} \cdot \int e^{- x} sin (n x) d x))

그러므로

\int e^{- x} sin (n x) d x = - e^{- x} \frac{1}{n} cos (n x) - \frac{1}{n} (e^{- x} \frac{1}{n} sin (n x) - (- \frac{1}{n} \cdot \int e^{- x} sin (n x) d x))

\int e^{- x} sin (n x) d x

분리

= - \frac{n e ^{- x} cos ( n x )}{n ^{2} + 1} - \frac{e ^{- x} sin ( n x )}{n ^{2} + 1}

솔루션에 상수 추가

= - \frac{n e ^{- x} cos ( n x )}{n ^{2} + 1} - \frac{e ^{- x} sin ( n x )}{n ^{2} + 1} + C