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Popolare Trigonometria >

arctan(x)+arctan(1-x)=arctan(4/3)

Soluzione

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{4}{3})

Soluzione

x = \frac{1}{2}

Fasi della soluzione

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{4}{3})

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

arctan (x) + arctan (1 - x)

Usa la formula della somma al prodotto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )})

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{4}{3})

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

arctan (\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}) = arctan (\frac{4}{3})

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = tan (arctan (\frac{4}{3}))

tan (arctan (\frac{4}{3})) = \frac{4}{3}

tan (arctan (\frac{4}{3}))

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche:

tan (arctan (\frac{4}{3})) = \frac{4}{3}

Usare l'identità seguente:

tan (arctan (x)) = x

= \frac{4}{3}

= \frac{4}{3}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

Risolvi

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3} : x = \frac{1}{2}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

Moltiplicare entrambi i membri

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

Semplificare

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )} : \frac{1}{1 - x ( 1 - x )}

\frac{x + 1 - x}{1 - x ( 1 - x )}

x + 1 - x = 1

x + 1 - x

Raggruppa termini simili

= x - x + 1

Aggiungi elementi simili:

x - x = 0

= 1

= \frac{1}{1 - x ( - x + 1 )}

\frac{1}{1 - x ( 1 - x )} = \frac{4}{3}

Applica la moltiplicazione incrociata: se

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

allora

a \cdot d = b \cdot c

1 \cdot 3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4

Semplificare

1 \cdot 3 : 3

1 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 3 = 3

= 3

3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4

3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4

Risolvi

3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4 : x = \frac{1}{2}

3 = (1 - x (1 - x)) \cdot 4

Espandere

(1 - x (1 - x)) \cdot 4 : 4 - 4 x + 4 x^{2}

(1 - x (1 - x)) \cdot 4

Espandi

1 - x (1 - x) : 1 - x + x^{2}

1 - x (1 - x)

Espandi

- x (1 - x) : - x + x^{2}

- x (1 - x)

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - x, b = 1, c = x

= - x \cdot 1 - (- x) x

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 1 \cdot x + xx

Semplifica

- 1 \cdot x + xx : - x + x^{2}

- 1 \cdot x + xx

1 \cdot x = x

1 \cdot x

Moltiplicare:

1 \cdot x = x

= x

xx = x^{2}

xx

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

xx = x^{1 + 1}

= x^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= x^{2}

= - x + x^{2}

= - x + x^{2}

= 1 - x + x^{2}

= 4 (x^{2} - x + 1)

= 4 (1 - x + x^{2})

Distribuire le parentesi

= 4 \cdot 1 + 4 (- x) + 4 x^{2}

Applicare le regole di sottrazione-addizione

+ (- a) = - a

= 4 \cdot 1 - 4 x + 4 x^{2}

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 = 4

= 4 - 4 x + 4 x^{2}

3 = 4 - 4 x + 4 x^{2}

Scambia i lati

4 - 4 x + 4 x^{2} = 3

Spostare

3

a sinistra dell'equazione

4 - 4 x + 4 x^{2} = 3

Sottrarre

3

da entrambi i lati

4 - 4 x + 4 x^{2} - 3 = 3 - 3

Semplificare

4 x^{2} - 4 x + 1 = 0

4 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

4 x^{2} - 4 x + 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = 4, b = - 4, c = 1

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 4}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1}{2 \cdot 4}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 0

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} - 16

4^{2} = 16

= 16 - 16

Sottrai i numeri:

16 - 16 = 0

= 0

x_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 0}{2 \cdot 4}

x = \frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2}

\frac{- ( - 4 )}{2 \cdot 4}

Applicare la regola

- (- a) = a

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Cancella il fattore comune:

4

= \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2}

La soluzione dell'equazione quadratica è:

x = \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2}

x = \frac{1}{2}

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{4}{3})

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

\frac{1}{2} :

Vero

\frac{1}{2}

Inserire in

n = 1

\frac{1}{2}

Per

arctan (x) + arctan (1 - x) = arctan (\frac{4}{3})

inserisci la

x = \frac{1}{2}

arctan (\frac{1}{2}) + arctan (1 - \frac{1}{2}) = arctan (\frac{4}{3})

Affinare

0.92729 \dots = 0.92729 \dots

\Rightarrow Vero

x = \frac{1}{2}

Grafico

Esempi popolari

cos(θ)=(-8)/(sqrt(14)*\sqrt{20)}

cos (θ) = \frac{- 8}{14 \cdot 20}

sin^2(x)= 1/3

sin^{2} (x) = \frac{1}{3}

cos(2x)=-0.8

cos (2 x) = - 0.8

0=-4sin(2x)

0 = - 4 sin (2 x)

cot(x)+1=0,0<= x<2pi

cot (x) + 1 = 0, 0 \leq x < 2 π