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dimostrare (sec(x))/(1-cos(x))=(sec(x)+1)/(sin^2(x))

Soluzione

dimostrare

\frac{sec ( x )}{1 - cos ( x )} = \frac{sec ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

Vero

Fasi della soluzione

\frac{sec ( x )}{1 - cos ( x )} = \frac{sec ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

Manipolando il lato sinistro

\frac{sec ( x )}{1 - cos ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{sec ( x )}{1 - cos ( x )}

Moltiplica per

\frac{1 + cos ( x )}{1 + cos ( x )}

= \frac{sec ( x )}{\frac{( 1 - c o s ( x ) ) ( 1 + c o s ( x ) )}{1 + c o s ( x )}}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(1 - cos (x)) (1 + cos (x)) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{sec ( x )}{\frac{1 - c o s ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}}

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sec ( x )}{\frac{s i n ^{2} ( x )}{1 + c o s ( x )}}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{sec ( x ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{sec ( x ) ( 1 + cos ( x ) )}{sin ^{2} ( x )}

Espandi

\frac{( 1 + cos ( x ) ) sec ( x )}{sin ^{2} ( x )} : \frac{sec ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{sec ( x ) cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

\frac{( 1 + cos ( x ) ) sec ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Espandi

(1 + cos (x)) sec (x) : sec (x) + sec (x) cos (x)

(1 + cos (x)) sec (x)

= sec (x) (1 + cos (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = sec (x), b = 1, c = cos (x)

= sec (x) \cdot 1 + sec (x) cos (x)

= 1 \cdot sec (x) + sec (x) cos (x)

Moltiplicare:

1 \cdot sec (x) = sec (x)

= sec (x) + sec (x) cos (x)

= \frac{sec ( x ) + sec ( x ) cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{sec ( x ) + sec ( x ) cos ( x )}{sin ^{2} ( x )} = \frac{sec ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{sec ( x ) cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{sec ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{sec ( x ) cos ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ( x ) sec ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{sec ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{cos ( x ) sec ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{sec ( x )}{sin ^{2} ( x )}

sec (x) cos (x) = 1

sec (x) cos (x)

Esprimere con sen e cos

sec (x) cos (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} cos (x)

\frac{1}{cos ( x )} cos (x) = 1

\frac{1}{cos ( x )} cos (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 cos ( x )}{cos ( x )}

Cancella il fattore comune:

cos (x)

= 1

= 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )} + \frac{sec ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sec ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 + sec ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{sec ( x ) + 1}{sin ^{2} ( x )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

(1 - sin (x)) (1 + csc (x)) = csc (x) - sin (x)

1 - cos^{2} (θ) = sin^{2} (θ)

tan (\frac{π}{4} - θ) = \frac{cos ( θ ) - sin ( θ )}{cos ( θ ) + sin ( θ )}

2 cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1 + cos^{2} (x)

csc (B) - sin (B) = cot (B) cos (B)