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4sin(θ)+4=(-3)/(sin(θ)-1)

Solução

4 sin (θ) + 4 = \frac{- 3}{sin ( θ ) - 1}

Solução

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Graus

θ = 3 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 21 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

4 sin (θ) + 4 = \frac{- 3}{sin ( θ ) - 1}

Usando o método de substituição

4 sin (θ) + 4 = \frac{- 3}{sin ( θ ) - 1}

Sea:

sin (θ) = u

4 u + 4 = \frac{- 3}{u - 1}

4 u + 4 = \frac{- 3}{u - 1} : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

4 u + 4 = \frac{- 3}{u - 1}

Simplificar

\frac{- 3}{u - 1} : - \frac{3}{u - 1}

\frac{- 3}{u - 1}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3}{u - 1}

4 u + 4 = - \frac{3}{u - 1}

Multiplicar ambos os lados por

u - 1

4 u + 4 = - \frac{3}{u - 1}

Multiplicar ambos os lados por

u - 1

4 u (u - 1) + 4 (u - 1) = - \frac{3}{u - 1} (u - 1)

Simplificar

4 u (u - 1) + 4 (u - 1) = - 3

4 u (u - 1) + 4 (u - 1) = - 3

Resolver

4 u (u - 1) + 4 (u - 1) = - 3 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

4 u (u - 1) + 4 (u - 1) = - 3

Expandir

4 u (u - 1) + 4 (u - 1) : 4 u^{2} - 4

4 u (u - 1) + 4 (u - 1)

Expandir

4 u (u - 1) : 4 u^{2} - 4 u

4 u (u - 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4 u, b = u, c = 1

= 4 uu - 4 u \cdot 1

= 4 uu - 4 \cdot 1 \cdot u

Simplificar

4 uu - 4 \cdot 1 \cdot u : 4 u^{2} - 4 u

4 uu - 4 \cdot 1 \cdot u

4 uu = 4 u^{2}

4 uu

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= 4 u^{1 + 1}

Somar:

1 + 1 = 2

= 4 u^{2}

4 \cdot 1 \cdot u = 4 u

4 \cdot 1 \cdot u

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 = 4

= 4 u

= 4 u^{2} - 4 u

= 4 u^{2} - 4 u

= 4 u^{2} - 4 u + 4 (u - 1)

Expandir

4 (u - 1) : 4 u - 4

4 (u - 1)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 4, b = u, c = 1

= 4 u - 4 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 = 4

= 4 u - 4

= 4 u^{2} - 4 u + 4 u - 4

Somar elementos similares:

- 4 u + 4 u = 0

= 4 u^{2} - 4

4 u^{2} - 4 = - 3

Mova

3

para o lado esquerdo

4 u^{2} - 4 = - 3

Adicionar

3

a ambos os lados

4 u^{2} - 4 + 3 = - 3 + 3

Simplificar

4 u^{2} - 1 = 0

4 u^{2} - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

4 u^{2} - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 4, b = 0, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

0^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 4

0^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Aplicar a regra

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 \cdot 4 (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 0 + 16

Somar:

0 + 16 = 16

= 16

Fatorar o número:

16 = 4^{2}

= 4^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

4^{2} = 4

= 4

u_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 4}{2 \cdot 4}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 0 + 4}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 0 - 4}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 0 + 4}{2 \cdot 4} : \frac{1}{2}

\frac{- 0 + 4}{2 \cdot 4}

Somar/subtrair:

- 0 + 4 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Eliminar o fator comum:

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 0 - 4}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- 0 - 4}{2 \cdot 4}

Subtrair:

- 0 - 4 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

Multiplicar os números:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Eliminar o fator comum:

4

= - \frac{1}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

u = 1

Tomar o(s) denominador(es) de

\frac{- 3}{u - 1}

e comparar com zero

Resolver

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Mova

1

para o lado direito

u - 1 = 0

Adicionar

1

a ambos os lados

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplificar

u = 1

u = 1

Os seguintes pontos são indefinidos

u = 1

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Substituir na equação

u = sin (θ)

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2}, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = \frac{1}{2}

Soluções gerais para

sin (θ) = \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

Soluções gerais para

sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Combinar toda as soluções

θ = \frac{π}{6} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

cos(θ)=0.707

cos (θ) = 0.707

1/((1+tan^2(o)+1))+1/((1+cot^2(o)))=1

\frac{1}{( 1 + tan ^{2} ( o ) + 1 )} + \frac{1}{( 1 + cot ^{2} ( o ) )} = 1

9(2sin^2(x)-1)=0

9 (2 sin^{2} (x) - 1) = 0

sin(x)+sin^2(x)+sin^3(x)+sin^4(x)=0

sin (x) + sin^{2} (x) + sin^{3} (x) + sin^{4} (x) = 0

sin(9x)-cos(x)=0

sin (9 x) - cos (x) = 0